Где находится центр масс? (14 февраля 2010)

В медном шаре радиусом R находится сферическая полость радиусом (3/4) R, касающаяся поверхности шара. На каком расстоянии от центра шара находится центр масс?

Задали в школе (9 класс, лицей № 3 им. Лобачевского г. Казань).

Большой шар состоит из двух тел: тела, центр масс которого нужно найти, и малого шара радиусом (3/4) R, касающегося поверхности большого шара.

Необходимо представить тело и малый шар как материальные точки с массами m1 и m2 и поместить их в центры масс тела и малого шара с координатами x1 и x2. Тогда координаты центра масс большого шара определяются уравнением:

x = (x1m1 + x2m2) / m,

где m — масса большого шара.

Отсюда легко выразить искомую координату:

x1 = (xm − x2m2) / m1.

Если за ноль взять центр масс большого шара, то:

x2 = R − (3/4) R = R / 4,

x = 0.

m2 = ρV2 = ρ (4/3) π (3/4)3 R3;

m1 = ρV1 = ρ (V − V2).

В итоге x1 = −(27/148) R.