Движение тела по наклонной плоскости (12 февраля 2010)

к задачеТело массой m1 = 3.5 кг находится в покое на наклонной плоскости с углом наклона ? = 30°. Под действием горизонтальной силы F = 110 H оно приобретает ускорение a1 относительно наклонной плоскости. За время t тело проходит путь S1 и приобретает скорость V1. В момент времени t1 = 6 c действие силы прекращается и тело движется равнозамедленно с ускорением а2. Пройдя за время t2 путь S2, тело остановилось. ? = 0.15.

Найти: а1, а2, S1, S2, V1, V2, t2.

Источник: Украина, Одесса, ОНПУ, I-й курс ИРТ, РГР по физике (3-я задача).

Не ждите готового решения. Выкладывайте те формулы, которые смогли вывести самостоятельно, а дальше Вам обязательно помогут.
Приступил к решению задачи с того, что составил основное уравнение динамики для этого тела:

ma = mg sin ? + ? (F sin ? + mg cos ?) − F cos ?.

Далее не пойму, к какой формуле относится а1.

Cначала пробовал из уравнения найти а, но получается большое число, около 18 м/c2, т.е. под действием силы в 110 Н тело массой 3.5 кг развило скорость 324 км/ч, не думаю, что это вероятно... и перестал развивать решение дальше.

Под действием приложенной силы тело движется вдоль наклонной плоскости вверх. Для начала выберите ось координат вдоль наклонной плоскости, например, вверх по ускорению и правильно запишите проекцию уравнения динамики − Ваше неверное. Из него следует, что проекция силы тяжести mg sin α и ma одного знака.
Второй закон Ньютона записан верно. Проcто ось он выбрал вниз вдоль плоскости.

Ускорение a1 действительно равно −18,7 м/с2.

На рисунке изображен вектор силы трения − вдоль плоскости вниз, следовательно, движение тела вверх вдоль плоскости.

Проведем оценку.

Вверх вдоль плоскости:

F cos α = 110 cos 30° = 95,26 H,

вниз вдоль плоскости:

mg sin α + μ (mg cos α + F sin α) = 3,5 × 10 sin 30° + 0,15 (3,5 × 10 cos 30° + 110 sin 30°) = 30,3 H.

Движение тела происходит вдоль плоскости вверх, ускорение направлено вверх вдоль плоскости, а в записанном исходном уравнении проекция ускорения и проекция силы тяжести одного знака.

Уравнение записано неверно. Оттого и минус выскакивает, что направление ускорения выбрано неверно.

Вопрос встал в формулировке, но не в сути.

Однако я придерживаюсь мнения, что:

  1. ускорение — это вектор, и у него, конечно, есть направление, и оно не может быть отрицательным само по себе, без указания оси.

  2. проекция ускорения на ось — это вектор, который уже может быть отрицательным, т.к. задана ось.

  3. на основании того, что ускорение отрицательно, нельзя говорить, что уравнение неправильное. То, что ускорение отрицательно, означает лишь то, что направление проекции ускорения на ось направлено против оси.

В конце концов выбор направления оси — суверенное право решающего. И уравнение второго закона записывается на ось. И то, что ускорение получилось отрицательным, — ничего страшного.

Спасибо за столь пристальное внимание к задаче... Задачу уже решил...

Осью ОХ выбрал против силы трения.
Осью ОУ по вектору нормали.
Далее составил уравнение относительно ОХ для первого случая, когда тело движется под действием силы F.

ОХ: ma1 = F cos ? − mg sin ? − Fтр,

OY: 0 = F sin ? + mg cos ? − N.

N = mg cos ? + F sin ?,

Fтр1 = ? (mg cos ? + F sin ?),


a1 = F cos ? − mg sin ? − Fтр/m,

S1 = a1t12 / 2,

V1 = a1t1.

Далее, когда сила перестала действовать на тело:

ОХ: ma2 = −mg sin ? − Fтр,

OY: 0 = mg cos ? − N,

N = mg cos ?,

Fтр = ?mg cos ?,

a2 = −mg sin ? − Fтр/m,

t2 = Vo2 / a2,

S2 = −Vo2 / (2a2).

V1 = Vo2.

Уважаемому, inkerman, уравнение, которое Вы считаете правильным − это проекция на ось (направленную вниз по плоскости − Ваше утверждение), тогда знак проекции ускорения минус "−", в формуле "+". Мои заключения основаны на предворительной оценке движения тела. Выяснив, что тело движется вверх вдоль плоскости, я и записываю проекцию уравнения динамики. Оно будет отличаться знаком перед ускорением.

Остались при своих.

Владимир Иванович, по-моему, Вы не полностью меня поняли.

До расчета величины ускорения мы даже не пробуем понять, куда направлено ускорение. Предполагаем, что "по оси". Если в процессе вычислений получится, что ускорение отрицательно, то это будет означать, что наше предположение неверно. Предположение неверно, а не само уравнение. Уравнение-то в порядке, оно правильное и дает правильный ответ.

Если до записи уравнения пытаться понять, куда направлено ускорение - это двойная работа. Сначала нужно посчитать все силы численно и сравнить (что не всегда возможно, особенно если задача без цифр), а потом уже записывать уравнение.

Эта задача как раз и демонстрирует, что удобно записывать уравнение, и уже по знаку ускорения определять, куда направлен вектор ускорения. Во второй части задачи там ускорение уже вниз вдоль плоскости, но мы же не будем менять ось и переписывать уравнения лишь из-за этого факта.

Просто сменился знак ускорения.

Рассуждение в тему.

Есть такой тип задач [тело на наклонной плоскости (1), связанное нитью с другим телом (2), нить перекинута через блок и тело (2) свешивается, трение есть], что если взять наугад ускорение, то можно получить ответ с минусом. Какой вывод? Ускорение в обратную сторону. Поменяли, проверили и ... опять с минусом. Что тогда? Стоит-то тело на месте. Вот как.

А если остановиться после первого решения, так и ускорение есть, а ответ неверный.

Хех, ну так это не совсем то...
Разумеется, проверить, движется ли тело в принципе, придется всегда.
в проекции на ось OX mg sin α надо брать со знаком "+", так как проекция силы тяжести направлена туда же, куда и ускорение а2