Во сколько раз нужно повысить напряжение? (24 января 2010)

Во сколько раз нужно повысить напряжение источника тока, чтоб потери мощности в линии электропередач уменьшились в 1000 раз, а мощность, которая передается по линии, не изменилась? Потери в линии сначала равнялись Uл = kUп, где Uп — напряжение на потребителе.

С. У. Гончаренко, "Олiмпiади з фiзики".

Выразить ток (I = P / U) в первом случае и рассчитать потери мощности (I2R) на проводах. Затем выразить ток во втором случае (I1 = P / U1) и рассчитать потери (I12R) на проводах. Найти отношение и получить искомый ответ, учитывая, что k = 1000.
Спасибо. Но меня немного сбивает с толку тот факт, что, по условию, мы напряжение источника увеличиваем, но при этом сила тока должна уменьшаться (ведь потери P = I2R уменьшаются!). Как такое может быть?
Насколько я понял, Вас смущает, что с ростом напряжения ток не растет, а падает.

Возле генератора ставят повышающий трансформатор, возле потребителя ставят понижающий. В результате в линии во сколько раз увеличивается напряжение, во столько же раз уменьшается ток. Режимы работы генератора и нагрузки не меняются. Чем длиннее линия, тем больше надо повышать напряжение, чтобы уменьшить потери мощности на проводах.

На практике можно считать (очень грубо, по порядку чисел), что число киловольт линии примерно равно числу километров ее длины. При этом обычно линия получается наиболее экономичной.

А что касается нагрузки, то на ней сила тока, как при обычных условиях, увеличивается в столько же раз, сколько и напряжение в генераторе? Да уж, задачка для восьмого класса!
Цитирую дословно решение, приведенное в книге:

----------

Мощность в цепи прямо пропорциональна квадрату силы тока, поэтому, чтобы уменьшить потери в 1000 раз, нужно уменьшить силу тока в √1000 раз. Сначала напряжение делится между линией и нагрузкой так:

U1 = Uл + Uп.

После уменьшения силы тока распределение будет таким:

U2 = Uл/√N + Uп√N.

Напряжение на нагрузке увеличивается в √N раз, чтобы мощность нагрузки не изменилась. Тогда соотношение напряжений на источнике будет:

U2 / U1 = (k / √N + √N) / k − 1,

где N = 1000. При k < √N напряжение нужно повысить.

--------

Во-первых, не совсем понятно, как выведена конечная формула. Во-вторых, получается, что, согласно этому решению, есть такие значения k, при которых нужно уменьшить напряжение, чтоб уменьшить потери.

У кого-нибудь есть по этому поводу мысли???

У меня получилось U2 / U1 = √(10)(k + 1000) / (100k + 100).

Завтра напишу решение, обсудим.

Напишите, пожалуйста.

Но, во всяком случае, я согласна с первыми двумя формулами для U2 и U1, которые приводятся в ответе (см. выше), но их отношение должно давать в итоге (k/√N + √N) / k + 1, если выразить U1 и U2 с помощью формулы Uл = kUп.

Я, если никто не против, введу другие обозначаения.

Пусть:

P1, P2 — мощности источника до и после, соответственно;

Pп, Pп* — потеря мощности до и после;

Pн — передаваемая мощность.


Запишем балансы мощностей:

P1 = Pп + Pн,     (1)

P2 = Pп* + Pн.     (2)


Выражаем Pн из (1) и подставляем в (2):

P2 = Pп* + P1 − Pп,

P2 = Pп/1000 + P1 − Pп = P1 − Pп (1 − 1/1000),

U2I2 = U1I1 − UпI2 (1 − 1/1000).


Т.к. Uп = U1 / (1 + 1/k), то:

U2I2 = U1I1 (1 − (1 − 1/1000) / (1 + 1/k)),

U2 / U1 = [I1 / I2] • (1 − (1 − 1/1000) / (1 + 1/k)).

Получается U2 / U1 = √(1000) (1 − (1 − 1/1000) / (1 + 1/k)). Если немножко упростить, то U2 / U1 = √(10)(k + 1000) / (100k + 100).

Меня смущает, что если построить график зависимости U2(k) = U1√(10)(k + 1000) / (100k + 100), то при увеличении k (увеличение потерь) U2 уменьшается, а при k > √(1000) выходит, что U2 < U1. Мне всегда казалось, наоборот, что чем больше потери, тем больше надо будет повышать напряжение, чтобы их уменьшить? Может, где ошибка?

...мощность, которая передается по линии, не изменилась...

Судя по Вашему решению, мощность у потребителя не изменилась. Можно ли понять вопрос задачи так, что передаваемая мощность неизменна (от генератора)?

Я понял, что мощность потребителя не изменилась. В принципе, можно истолковать условие и по-другому, но тогда не нужно будет условие про k.
AssemblerIA64 в Январь 31, 2010 - 17:02

По-моему, ошибки нет, все правильно. Дело в том, что если к источнику питания с определенным внутренним сопротивлением подключить реостат и менять его сопротивление от нуля до бесконечности, то максимальная мощность будет выделяться при сопротивлении реостата, равному внутреннему сопротивлению источника. А мощность меньшая от максимальной будет выделяться при двух положениях. Одно меньше, а второе больше внутреннего сопротивления. Обычно при распределении электроэнергии используется режим, когда сопротивление нагрузки гораздо больше сопротивления источника (в данной задаче это сопротивление линии), поэтому "k < 1" и при этом не может быть уменьшения потерь с понижением напряжения.

___

Можно посчитать пример, когда на линии выделяется мощность больше, чем на нагрузке (k > 1).

Допустим, в линии 100 Ом идет ток 10 А, на линии падает 1000 В и выделяется 10 000 Вт, на нагрузке 1 Ом падает 10 В и выделяется 100 Вт. Источник дает 1010 В.
Ток уменьшили до 1 А.
На нагрузке напряжение стало 100 В, падение на линии 100 В. На линии выделяется 100 Вт. Источник дает 200 В. Потери уменьшилось, и напряжение источника уменьшилось.

margaryta в Январь 31, 2010 - 14:40

По-моему, Вы правы, насчет .../(k + 1), в учебнике, по-моему, опечатка.

Спасибо, понял.
Видимо, действительно опечатка в условии. Спасибо.