Максимальная скорость для спутника Земли (22 января 2010)

Вокруг земли крутится спутник на высоте 4R (R — радиус Земли). В определенный момент он получает дополнительную скорость в направлении движения (по касательной). Какова максимальная скорость, которую можно добавить что бы спутник остался в притяжении Земли? Второй вопрос тот же, но скорость добавляют перпендикулярно движению спутника и в направлении от Земли.

Учебник на иврите для подготовки к аттестату зрелости за 12 класс.

В общем, я понимаю, что в первом пункте спутник останется на месте. Просто получит дополнительное угловое ускорение и за счет этого еще сильнее будет притягиваться к Земле и т. д. Но как написать это в формулах?

Кстати, дано только M и R Земли.

Не совсем. Скорость спутника определяет его орбиту. В самом начале орбита была круговая. Такой орбите соответствует скорость, равная I космической для этой высоты:

vI = √(GMз / (R + 4R)).

Спутник преодолеет притяжение Земли, если его скорость будет равна II космической (траектория движения — парабола):

vII = √(2GMз / (R + 4R)).

Поэтому для первого случая:

vI + vдоп = vII,

vдоп = (√2 − 1) √ (GMз / (5R)).

Во втором случае скорости сложатся по правилу параллелограмма:

v = √(vI2 + vдоп2).

Приравниваем новую скорость ко II космической:

√(vI2 + vдоп2) = √(2GMз / (R + 4R)),

vI2 + vдоп2 = 2GMз / (5R),

GMз / (5R) + vдоп2 = 2GMз / (5R),

vдоп = √(GMз / (5R)).

Понял. Все оказалось намного проще. Но я пытался решить через сохранение энергии и ничего не выходило.

Начальная энергия:

mV12 / 2 − GmM / r.

После дополнительного импульса только кинетическая, т.к. Земля уже не действует:

mV22 / 2.

Сравниваем их и находим, что V2 = 0.

То есть он не двигается? Где ошибка?

Их нельзя приравнивать, т.к. полная механическая энергия спутника изменится за счёт работы двигателя.

N.B. Закон сохранения энергии как раз позволяет найти значение II космической скорости:

mv2 / 2 − GmM / r = 0 + 0,

причём первый ноль в правой части из-за того, что r = ∞, а второй — так как кинетическая энергия на границе сферы гравитационного влияния должна быть равна нулю (условие минимальности II космической скорости).