Под каким углом изображение мухи пересекает главную оптическую ось? (8 января 2010)

Муха пересекает главную оптическую ось собирающей линзы на расстоянии a = 3F, где F — фокусное расстояние линзы, под малым углом α к оси линзы со скоростью v. Под каким углом изображение мухи пересекает главную оптическую ось? Чему равна в этот момент скорость изображения мухи?

(МФТИ , билет 4 , 2002 год).

Первый ответ я получил: β = 2α. Но не знаю, как правильно найти скорость изображения.
А ответы имеются?
У меня вроде как получилось v' = v (1 − α2/2) / 4.
Ответы есть.

β = 2α.

u = v (b sin α) / (a sin β) = v / 4.

Вот мой способ решения:
  1. Найдём расстояние от линзы до изображения:

    1/a + 1/a' = 1/F.

    1/(3F) − 1/F = −1/a',

    откуда a' = 3F / 2.

  2. В силу малости угла, думаю, можно пренебречь вертикальной составляющей движения.

    Тогда по формуле тонкой линзы:

    1/F − 1 / (3F − vxΔt) = 1 / (3F/2 + v'xΔt).

    После всех преобразований:

    0.5vxFΔt / (2F − vxΔt) = v'Δt.

    Теперь разделим числитель и знаменатель левой дроби на F:

    0.5vxΔt / (2 − vxΔt/F) = v'Δt.

    Так как промежуток времени Δt мал, то слагаемым vxΔt/F можно пренебречь.

    Получается v'x = vx/4 = v cos α / 4 ? v/4.

Пожалуй, все верно. Но вообще я решал эту задачу многими способами и самое странное, что в одном из них я пренебрег горизонтальной составляющей скорости (ради эксперимента), и в итоге ответ получился верный. Попробую решить остальные аналогичные задачи. Если интересно, задания беру из книги "Методическое пособие по физике для поступающих в вузы (под ред. Чешева)". Она оцифрована, но в свободном виде только издание 2006 года.
Увеличение линзы: 1/2,

продольное увеличение: 1/4.

По условию задачи, угол между вектором скорости мухи и главной оптической осью мал, тогда скорость, с которой изображение мухи пересекает главную оптическую ось, равна v / 4.

d = a = 3F.

f = b = 3F / 2.

β = 2α.

H = ut sin β.

h = vt sin α.

H / h = f / d = b / a.

H / h = (u sin β) / (v sin α) = b / a.

u = v (b sin α) / (a sin β).

По-моему, это решение самое правильное.