Оцените число ударов частицы о стенки сосуда за сутки (21 ноября 2009)

В кубическом сосуде объёма 1 литр находится гелий при давлении 1 атм и температуре 300 К. Проследим за движением одной из частиц (это один из атомов газа). Оцените (найдите приближённо) число ударов этой частицы о стенки сосуда за сутки. Моль гелия имеет массу 4 г.

Задача с окружной олимпиады по физике.

Комментарии

Каждое ребро куба имеет площадь S = 0,01 м2.

Зададим прямоугольную систему координат с началом отсчета в одной из вершин куба, а оси направим вдоль ребер куба.

N1 = Snvx / 2.

N2 = Snvy / 2.

N3 = Snvz / 2.

N = 2 (N1 + N2 + N3).

В силу того, что vx = vy = vz, имеем, исходя из vx2 + y2 + z2 = v2, что vx = vy = vz = v / √3.

Тогда N = Snv √3.

v = √(3RT / M).

N = 3Sn √(RT / M).

n = p / (kT).

N = (3Sp √R) / (k √(TM)).

Это число столкновений в секунду.

Значит, искомый ответ: Nt = (3Spt √R) / (k √(TM)).

Давайте рассуждать.

Пусть исследуемая молекула находится вблизи одной из стенок сосуда и движется в сторону противоположную этой стенке. Для того, чтобы добраться до противоположной стенки, ей придется преодолеть путь x = V1/3 = 0,1 м. На ее пути находится газ с огромным числом молекул, которые многократно изменят траекторию этой молекулы и увеличат время движения до стенки. Предположим вначале, что газа нет, молекула в сосуде находится в одиночестве и никто не мешает ей двигаться до противоположной стенки. В этом случае время, затраченное на прохождение стороны куба, будет равно:

Δt = x / v,

где v — средняя квадратичная скорость, которая вычисляется по формуле:

v = √(3RT / μ).

Таким образом, время движения до стенки будет:

Δt = x / v = x √(μ / (3RT)) = 7 × 10−5 с.

Подчеркиваю, это минимальное время, за которое частица может добраться до противоположной стенки. Спустя это время произойдет упругий удар, она отскочит в противоположном направлении с такой же скоростью, и процесс повторится. Стало быть, за время Δt происходит один удар молекулы. За сутки число ударов будет максимум равно:

No = t / Δt = 1,2 × 109.

Большего числа ударов за сутки быть в принципе не может, ибо это число рассчитано из условий, что

а) газа нет (или что частица не соударяется с другими молекулами в процессе движения),

b) молекула движется вдоль одного из ребер сосуда.

Если посчитать ответ в предыдущем решении, то число ударов за сутки получится ~1030, что, как мы выяснили, далеко от реальности. siri3us, разберитесь с обозначениями. Ошибку в Вашем решении я не нашел, поскольку так и не выяснил, что Вы обозначили буквами N и N1.

P.S. Предложенное мной решение самое примитивное из всех возможных. Дальше можно усложнять модель и учесть, что молекула движется в трехмерном пространстве (это было сделано в предыдущем решении), а также соударения между молекулами. Попробуйте придумать такую модель и определить порядок искомой величины более точно.

За время t импульс, переданный молекулами газа сосуду, будет равен P = Ft = pSt.

С другой стороны, P = 2movsN, где vs — перпендикулярная составляющая скорости к S поверхности.

v = √(3RT / M).

vs = √(RT / (3M)).

2moNvs = pSt.

2moN √(RT/3M) = pSt.

(2N √(MRT / 3)) / Na = pSt.

N = (pStNa √(3M/RT)) / 2 — число столкновений молекул со стенками за сутки.

a = N / (Vn),

где n — концентрация, a — искомое число.

n = p / (kT).

a = NkT / (pV).

siri3us в Ноябрь 24, 2009 - 14:13.

У Вас опечатка тут, знак деления под корнем не на своем месте:

N = (pStNa ?(3M / RT)) / 2 — число столкновений молекул со стенками за сутки.

Правильно так:

N = pStNa ?(3 / (MRT)) / 2.

И, видимо, скорость Vs должна быть равна ?(RT/μ).
Надоело разбираться?