Каково минимальное расстояние между автомобилями? (19 октября 2009)

Два автомобиля двигаются по прямолинейному участку шоссе в одном направлении. В начальный момент времени расстояние между автомобилями L = 300 м. Скорость автомобиля, едущего первым, составляет 36 км/ч, а у второго автомобиля скорость в два раза больше. Оба автомобиля одновременно начинают разгон с постоянными ускорениями. Ускорение первого автомобиля равно a = 1 м/с2, а второго — в 2 раза меньше. Каково минимальное расстояние между автомобилями при движении?

Задача от учителя в школе (физмат. класс), г. Казань.

Я составил уравнения:

для первого автомобиля:

S(t) = 300 + 10t + t2,

для второго:

S(t) = 20t + 0,5t2,

а дальше не знаю, как решить. Подскажите, кто знает.

S = S1 − S2 = 0,5t2 − 10t + 300.

0,5t2 − 10t + 300 = 0.

D = b2 − 4ac = −500.

D меньше нуля, следовательно, функция положительна на всей области определения. А наименьшее значение функция принимает при x = −b/2a, равное D / (4a).

Таким образом, из уравнения вытекает, что:

x = 10 / (2 × 0,5) = 10 (c),

S = 500 / (4 × 0,5) = 250 (м).

Ответ: минимальное расстояние равно 250 метрам.

Найти производную dS/dt и приравнять к нулю.

t − 10 = 0,

t = 10 c.

Тогда расстояние между автомобилями минимально равно:

0,5×100 − 10×10 + 300 = 250 м.