Максимальная скорость падения шара (17 октября 2009)

Если сбросить массивное тело с большой высоты, то из-за сопротивления воздуха оно большую часть пути будет двигаться с постоянной установившейся скоростью. Для пластмассового биллиардного шара эта скорость составляет 100 м/с. Если его сделать из материала с вдвое большей плотностью, то при тех же размерах его скорость увеличится до 140 м/с. Если взять шар из того же материала, что и биллиардный шар, но вдвое большего диаметра, то скорость установившегося движения также составит 140 м/с. Какой станет эта скорость для шара из того же материала, но в 10 раз меньшего диаметра?

Саратов, физмат-класс.

Комментарии

Это задача на движение с сопротивлением. Ознакомьтесь с похожими задачами.
а можете написать решение?
Можем.

Известно, что сила сопротивления среды зависит от скорости движения тела. Обычно она либо пропорциональна скорости Fc = kv, либо пропорциональна квадрату скорости Fc = kv2 (это зависит от величины скорости: чем быстрее движется тело, тем больше показатель степени в этой формуле), k — коэффициент пропорциональности, зависящий от многих параметров (плотность и температура среды, размер и форма движущегося тела и т.д.). В задаче нам неизвестно, как зависит сила сопротивления от скорости.

Выясним это.

Запишем первый закон Ньютона для первого и второго случаев:

mg = kv1n,     (1)

2mg = kv2n,     (2)

где n — показатель степени, который мы пока не знаем (он может быть равен и 3). Если подставить в эти формулы заданные значения скорости, то не сложно вычислить n, который будет равен 2. Таким образом, получается, что в нашей задаче сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости Fc = kv2.

Теперь запишем первый закон Ньютона для третьего случая:

8mg = k1v32,     (3)

где k1 — коэффициент сопротивления среды при другом радиусе шарика. Как этот коэффициент зависит от радиуса, мы не знаем, но можем выяснить из уравнений (2) и (3). Если их разделить одно на другое, то получится, что k1 = 4k. Т. е. с увеличением радиуса шара в два раза коэффициент сопротивления среды увеличивается в четыре раза. Значит, k зависит от радиуса так: k ~ R2 (на самом деле это известный факт, сила сопротивления возрастает пропорционально площади лобового сечения).

Таким образом, получается, что если мы возьмем шарик радиусом в десять раз меньшим, чем первый, то коэффициент сопротивления уменьшится в 100 раз. Масса этого шарика станет меньше в 1000 раз (определите это из плотности самостоятельно). Если записать закон Ньютона для четвертого случая, то выглядеть он будет так:

0.001mg = 0.01kv42.

Решая это уравнение совместно с, например, (1) получим:

v4 = v1 / √10 = 31.6 м/с.

Довольно интересная задача, рекомендую разобрать ее всем, кто хочет научиться решать задачи на сопротивление среды.

Надоело разбираться?