Угол для максимального пролёта снаряда (16 октября 2009)

Под каким углом к горизонту следует установить ствол орудия, чтобы снаряд пролетал максимальное расстояние?

Типовик. 11 класс.

Комментарии

Этот угол хорошо известен, нужно лишь доказать, что в данном случае дальность будет максимальной.
В безвоздушном пространстве 45°.

В реальных условиях максимальная дальность достигается при углах примерно от 42° до 50°.

Можно догадаться, в каких случаях какие углы лучше применять для увеличения дальности.

доказывать через дифференцирование, типа задача на оптимизацию?
Задача для школьников, поэтому будет лучше доказать с помощью логических рассуждений.
Накиньте идею, а то вообще не соображаю, с чего начать...
Сперва надо написать все формулы для случая, когда начальная скорость направлена под углом. Вывести какую-то одну общую формулу. А дальше думать и оценивать, какие углы должны быть в знаменателе, чтобы тот оказался минимальный. Или искать максимальный числитель, если в знаменателе угла не окажется.

Свои мысли и формулы выкладывайте здесь, проверим, подскажем.

Попробую, разложим скорость полёта V на составляющие Vx и Vy:

Vx = Vo cos α,

Vy = Vo sin α.

Допустим, что по оси X и Y скорости равны, тогда поделим уравнения друг на друга.

Получается:

Vx / Vy = (cos α) / sin α;

ctg α = 1, отсюда угол α = 45°.

Бред? :)

А теперь рассмотрите случай, когда скорости по осям X и Y не равны.
vx = v cos α.

vy = v sin α.

t = 2vy / g = 2v (sin α) / g.

s = vxt = 2v2 (sin α) (cos α) / g = (v2 sin (2α)) / g.     (исправлено — afportal)

Видно, что функция s(α) достигает максимального значения при α = 45°.

Странно. Я написал синус двойного. Кто редактировал?
siri3us, это я. Прошу прощения за оплошность. Возможность редактирования чужих комментариев есть только у меня и у В. Грабцевича, но он редко это делает.

Все формулы в комментариях я привожу к единообразному виду с однозначным толкованием. Это приходится делать, потому что все пишут по-своему, основываясь зачастую на разных правилах или вообще без них. Часть формул из школьного курса я уже забыл и здесь тщательно не проверил. Чтобы подобных вопросов не возникало, внимательно расставляйте скобки и пробелы. Именно из-за отсутствия пробела после sin мне пришлось выбирать между степенью и двойным углом.

Спасибо всем за внимательность.

D — дальность полёта,

Vo — начальная скорость,

β — угол к горизонту.


D = Vo (sin 2β) / g;

D = Vo / g,

если sin 2β = 1.

А sin 2β = 1, если 2β = 90°, значит β = 45°.

Надоело разбираться?