Сколько теплоты выделилось на резисторе (14 октября 2009)

В электрической цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора сопротивлением R, катушки индуктивностью L и конденсатора электроемкостью C, происходят затухающие колебания. За некоторое время амплитуда колебаний силы тока в цепи уменьшилась от I1 до I2. Какое количество теплоты выделилось за это время на резисторе, если затухание связано только с потерями энергии на нагревание резистора?

Учебник Пинского, 11 класс, задача № 1.7.

Комментарии

Есть предположение, что минимальное напряжение на конденсаторе будет вычисляться как U = IR, тогда:

U1 = I1R.

U2 = I2R.

CU12/2 + LI12/2 = W1.

CU22/2 + LI22/2 = W2.

Q = W1 − W2 = CU12/2 + LI12/2 − CU22/2 − LI22/2 = (CR2 + L) (I12 − I22) / 2.

При колебаниях в контуре энергия переходит от конденсатора в катушку и обратно. В момент, когда ток в контуре равен амплитудному, вся энергия сосредоточена в катушке в виде магнитного поля, так как на конденсаторе в этот момент напряжение равно нулю.

Энергия в катушке:

E1 = LI12 / 2.

E2 = LI22 / 2.

Потери в контуре — это разность между начальной и конечной энергиями:

Q = E1 − E2 = (L / 2) (I12 − I22).

Значения сопротивления и емкости в этой задачи не используется.

Нужно учитывать, что напряжение на конденсаторе не может быть равно 0. Следовательно, нельзя утверждать, что W = LI2 / 2.
siri3us в Октябрь 17, 2009 - 11:28
"Нужно учитывать, что напряжение на конденсаторе не может быть равно 0."

Это почему?

Рекомендую сделать график и на нем нарисовать, как меняется напряжение на конденсаторе и ток через катушку в течение нескольких периодов.

Если лень рисовать, можно найти готовые рисунки в интернете или учебнике. А есть джава-аплеты с анимацией. Используя запрос "Колебательный контур график напряжение ток", нагуглил ссылку fiz.1september.ru/2008/21/13.htm

А на ней есть ссылка walter-fendt.de/ph14e/osccirc.htm

Там анимированная картинка, как меняются токи, напряжения, энергии в колебательном контуре.

Ставьте режим "Slow motion (100x)", а в момент подхода напряжения или тока к нулю, жмите кнопку "Pause". Хорошо видно, что при максимуме тока напряжение равно нулю, и наоборот.

Наличие резистора не даст напряжению на конденсаторе упасть до нуля. Не надо путать с простейшим колебательным контуром. К тому же зачем тогда в задаче даны сопротивление и электроемкость?
Если сопротивление в контуре очень большое, то колебания в контуре не возникнут, и конденсатор будет разряжаться до нуля и (теоретически) нуля никогда не достигнет, а практически разрядится до нуля за время примерно 3...5 постоянных времени T = RC.

Но так как в задаче указано, что колебания таки происходят, то значит конденсатор таки перезаряжается, а раз перезаряжается, то есть и момент, когда напряжение равно нулю.

Вот тут, например, неплохо описано: fnsm.tpu.edu.ru/teph/info/materials/labs/oscill/e20a.pdf

А емкость и сопротивление, возможно, даны для того, чтобы сбить с толку (цель была достигнута :)).

Если колебания происходят в контуре с резистором, то все равно: когда ток максимальный, вся энергия запасена в магнитном поле катушки, а когда напряжение на конденсаторе максимально — вся энергия запасена в электрическом поле конденсатора.

А в резисторе энергия не накапливается, она в нем только выделяется.

Надоело разбираться?