Найти диаметр цилиндра с плёнкой (9 октября 2009)

В кассете для кассетного магнитофона диаметр цилиндров, на которые наматывается плёнка, равен 2 см. Когда вся плёнка перемотана на один из цилиндров, диаметр цилиндра с плёнкой равен 6,5 см. Найти диаметр цилиндра с плёнкой в тот момент времени, когда на другом цилиндре диаметр равен 4 см.

Сборник вопросов и задач по физике. Г.Н. Степанова, Санкт-Петербург "Специальная Литература", 1997. № 143.

Давайте рассуждать.

Длина всей пленки равна Vtобщ,

где tобщ — время перемотки всей пленки с постоянной скоростью V.

C другой стороны, обозначив толщину пленки как d, можно записать:

Vtобщd = π (D/2 − Dц/2)2,

где D = 6.5 см, а Dц = 2 см.

Осталось составить уравнения для перемотки части пленки (D1 в момент t1) и решить систему. Решайте, публикуйте.

Математическое решение.

Объём первой бобины без плёнки:

V1 = ?d12h.

Объём второй бобины с плёнкой:

V2 = ?d22h − ?d12h = ?h (d22 − d12).

Объём первой бобины после намотки плёнки:

V4 = ?d42h − ?d12h = ?h (d42 − d12).

Объём второй бобины после отмотки плёнки:

V3 = ?d32h − ?d12h = ?h (d32 − d12).

Имеем:

V2 = V4 + V3,

или ?h (d22 − d12) = ?h (d42 − d12) + ?h (d32 − d12),

откуда:

d22 −d12 = d42 − d12 + d32 − d12;

d42 = d22 + d12 − d32.

Ответ: 5.5 см.

Осталось составить уравнения для перемотки части пленки (D1 в момент t1) и решить систему.

А чему будет равно время t1? Как от него потом избавиться? Выразить через tобщ? Продолжите решение первым способом.

Как я подумал потом, время t1 по имеющимся данным узнать невозможно (неизвестно ни время перемотки, ни толщина пленки). Судя по всему, решение задачи только математическое.

А как думают другие пользователи?

без вариантов
Магнитная лента наматывается с катушки через звукосниматель с постоянной скоростью v. Толщина ленты равна h. Тогда радиус:

R2 = R12 + vth/?.

Это следует из:

?R2 = ?R12 + vth.

Тогда имеем для первой катушки:

R32 = R12 + vth/?.

Для второй катушки:

R42 = R22 − vth/?,

откуда имеем:

R32 − R12 = R22 − R42

и

R42 = R22 + R12 − R32.

Источник: И. Б. Иродов, "Задачи по общей физике", 1998, № 146.

Вот еще один вариант рассуждений при решении задачки.

1) При перемотке ленты с одной катушки на другую сумма площадей ленты на обеих катушках сохраняется, так как это площадь боковой поверхности ленты (лента достаточно тонкая, чтобы пренебречь участком между катушками).

2) Площадь (боковая) ленты на катушке пропорциональна квадрату радиуса намотки. Поэтому:

R12 + R22 = const.

22 + 6.52 = 42 + x2.

x = 5.5 (см).