При каком коэффициенте трения кирпич не будет скользить? (8 октября 2009)

С наклонной плоскости, составляющей угол α = arcsin (3/5) с горизонтом, скатывается без проскальзывания тележка в виде легкой доски на четырех одинаковых массивных колесах. Вся масса каждого колеса (m = 1 кг) сосредоточена в тонком внешнем ободе. На доске лежит кирпич массой М = 4 кг. При каком минимальном коэффициенте трения ? кирпич не заскользит по доске?

Задача № 1 из олимпиады.

Комментарии

Я приведу своё решение, хотя я в нём сомневаюсь.
  1. Найдём ускорение центра колеса.

    Из основного ур-ния динамики вращательного движения и теоремы Штейнера:

    (mr2 + mr2) a / r = r (mg + Mg/4) sin α.

    a = 3g (m + M/4) / (10m).

  2. Рассмотрим силы, действующие на кирпич:

    N = Mg sin α.

    −Ma + μN + Mg cos α = 0.

    μ = (Ma − 4Mg/5) / (3Mg/5) = (m + M/4) / (2m) + 4/3 = 2,(3).

Наверное, многовато для коэффициента трения?

На тележку действуют силы m'g (m' = (4m + M)) и со стороны колес: 4N и 4f, где f — сила трения между колесами и плоскостью в общем векторном виде:

m'a = m'g + 4N − 4f (еще раз — в векторном... тут рисовать вектора негде),
разбивая по компонентам вдоль плоскости (x) и перпендикулярно ей (y), получаем:
x:   m'a = m'g sin ? − 4f
y:   m'g cos ? = 4N — это компонента нас не волнует по причине ниже.

Вращение колес описывается как I? = fR,
где R — радиус колес.

Так как колеса не проскальзывают, то ? = a/R.
Поэтому:
f = Ia / R?
получаем, что
m'a = m'g (sin ?) − 4Ia / R?
момент инерции кольца I = mR?, подставляем его:
m'a = m'g (sin ?) − 4ma ,
отсюда находим:
a = m'g (sin ?) / (m' + 4m) = m'g (sin ?) / (8m + M).

Осталось найти, при каком ? не заскользит...
требование для этого = сила трения между тележкой и кирпичом ?Mg cos ? = Ma,
a = ?g cos ?,
то есть:

? = a / (g cos ?) = m'g (sin ?) / (8m + M) / (g cos ?) = m' (tg ?) / (8m + M) = (4m + M) (tg ?) / (8m + M) = ((4 + 4) / (8 + 4)) 0.75 = 0.5.

Вектор можно рисовать как. Кнопка есть справа в панели редактора.
Спасибо.
Пожалуйста, только правильно ли оно, не очень уверен...!!!
Успехов Вам...!!!
Надоело разбираться?