Напряженность электрического поля в центре куба (13 сентября 2009)

Три прилегающие друг к другу грани куба заряжены равномерно с поверхностной плотностью заряда +w,а остальные три грани — с плотностью заряда −w. Найти напряженность E электрического поля в центре куба.

Чебоксары, гимназия № 2, 11-М класс (математический).

Комментарии

эммм... А интегрирование в 11 уже разрешено? По-другому я не знаю, как решать эту задачу.
В приближении, наверное, можно решить так.

1) Написать напряжённости поля от каждой грани по формуле E = w2 / (2ε).

2) Векторно сложить.

Кстати, в 11-ом, интегрировать, по-моему, можно.

Приближение даст погрешность "всего" в 3 раза.

Поле квадрата c напряженностью σ на оси симметрии на расстоянии половины ребра составляет σ / (6εo).

Прошу простить, у меня ещё и опечатка: квадрата быть не должно.
Да, у меня тоже опечатка, вернее, две:

1) не напряженность сигма, а поверхностная плотность заряда;

2) не ребро, а сторона.

По теореме Гаусса, составляющая напряженность электрического поля, перпендикулярная поверхности равномерно заряженного участка плоскости, равна:

En = ?? / (4??o),

где ? — телесный угол, под которым виден этот участок из рассматриваемой точки пространства, ? — поверхностная плотность заряда.

В центре куба телесный угол ? = 4? / 6. Поэтому напряженность от одной плоскости куба:

En = ? / (6?o).

Источник: "Задачи по физике" О. Я. Савченко, Москва «Наука», 1988, 6.1.19. Это сборник, на который ещё нет решебника!

хм.. тут было вроде мое сообщение? почему пропало?

- Я не трогал. (прим. afportal).
- видимо глюк...

Теперь ясно. Только не понял, откуда формула En = ?? / (4??o). Хотя теорему Гаусса знаю. Но ответ получается верный:

E = ? / (?o√3).

Из теоремы Гаусса эта формула не следует. Ее доказывают при доказательстве теоремы Гаусса. В двух словах: рассматриваете некий участок плоскости, видимый под неким телесным углом из данной точки, считаете нормальную компоненту Е в этой точке от этого участка плоскости. Далее вспоминаем, что такое телесный угол и показываем, что нормальная компонента Е пропорциональна телесному углу. А дальше просто суммируем по нужному участку плоскости, и получается искомая формула.

Можете поискать доказательство теоремы Гаусса. Например, тут: Сивухин Д.В., т. 3 "Электричество".

Пусть n — вектор нормали к части плоскости. Этот вектор параллелен оси Ox. Заряд dq площадки dS равен:

dq = ? ? dS.

Далее:   dEx = dE ? cos ?, а dE = ?dS / (4??or2).

Следовательно, dEx = (? / (4??o)) ? (dS cos ?) / r2 = (? / 4??o) ? d?,

где d? — бесконечно малый телесный угол, под которым из точки А видна площадка dS. При ? = const интегрирование даёт Ex = [? / (4??o)] ? ? , где ? — телесный угол, под которым из точки А видна вся часть заряженной плоскости.

Надоело разбираться?