Мяч выброшен из воздушного шара (25 ноября 2007)

Через время to = 4 с после старта воздушного шара, поднимающегося с поверхности земли с ускорением a = 0,5 м/с2, из его корзины бросают мяч со скоростью vo = 5,5 м/с под углом α = 30° к горизонту (измерения проведены относительно корзины). Найти расстояние от места старта шара до места падения мяча.

Помогите, пожалуйста, решить задачу про мяч, выброшенный из воздушного шара. Никак не могу справиться. Наш учитель физики пользуется собственным учебником и собственным задачником.

Заранее спасибо всем!

Задача в несколько действий.
  1. Найти, на какую высоту успел подняться шар, когда из его корзины бросили мяч.
  2. Найти скорость воздушного шара в момент бросания мяча. Сложить векторы скоростей шара и мяча. Получится общая начальная скорость мяча в момент отрыва от шара.
  3. Эту общую начальную скорость мяча разложить на вертикальную (ось Y) и горизонтальную (ось X) составляющую.
  4. Горизонтальная составляющая скорости мяча постоянна. Расстояние от места старта шара до места падения мяча (по оси X) можно легко найти, узнав время полета мяча.
  5. Чтобы узнать время полета мяча, нужно узнать, когда же он упадет. У нас есть вертикальная составляющая общей начальной скорости мяча (ее можно назвать начальной скоростью мяча для оси Y) и ускорение свободного падения.

Ждем здесь Ваше решение. Или хотя бы ответ.

Предложение: "выключить Землю". Если Вам знаком такой метод, попробуйте!
Скажите, пожалуйста, как прикрепить рисунок? И в чём лучше его делать? У меня решение не совсем такое, как у Вас. Поэтому рисунок не помешал бы.
А не могли бы Вы объяснить, в чём заключается смысл метода "Выключение Земли"?
"Выключить Землю" означает исключить гравитационное действие Земли. Примеры по этому методу смотрите здесь:   fizportal.ru/practica/7
Рисунок можно сделать в любом графическом редакторе. Можно даже от руки нарисовать и сфотографировать или отсканировать.

Разместить можно через любой хостинг картинок с последующей вставкой сюда html-кода или просто прислать мне.

к задаче

Найдём высоту h, на которую поднялся шар с мячом:

h = ato2 / 2, так как начальная скорость равна нулю.

Нам нужно найти S, и у нас S = S1 + S2.

Дальше я вижу решение двумя вариантами. Вот первый.

Найдём S1.

S1 = vo2 (sin2 α) / g.

Пусть t2 — время, за которое тело проходит S2, то есть падает с высоты h с определённой начальной скоростью vo под углом α.Тогда h = vo (sin α) t2 + gt22/2. Приведём к общему виду квадратное уравнение относительно t2 и решим его:

(g/2) t22 + vo (sin α) t2 − h = 0.

Дискриминант D = √(vo2 sin2 α + 2hg).

Значит, t2 = (−vo sin α ± D) / g = (−vo sin α ± √(vo2 sin2 α + 2hg)) / g.

Теперь S = S1 + S2 = (vo2 sin2 α + vo cos α (−vo sin α ± √(vo2 sin2 α + 2hg))) / g.

Подставим числовые значения S = (5.5 × 5.5 (√3/2) + 5.5 (√3/2) ((−5.5 (1/2) + √(5.5 × 5.5 (1/2) (1/2) + 2 × 4 × 10))) / g = 5.7 м (я беру плюс дискриминант, так как если брать минус, то числитель дроби будет отрицателен, а, значит, и будет отрицательное расстояние, чего не может быть, и я не пишу формулу h, а сразу пишу 4 м).

Теперь второй способ. Да, конечно, может он и не очень так уж отличается, но всё-таки.

Так же находим t2.

Значит, теперь найдём t1 (время, за которое тело проходит S1):

t1 = 2vo (sin α) / g.

S = vo (cos α) t = vo (cos α) (t1 + t2) = (vo cos α (vo sin α + √(vo2 sin2 α + 2hg))) / g.

S = (5.5 (√3/2) (5.5 (1/2) + √(5.5 × 5.5 (1/2) (1/2) + 2 × 4 × 10))) / 10 = 5.7 м.

Elitmango, возникло два вопроса:

1. Как найдена формула: S1 = vo2 (sin2 ?) / g?

2. Почему не учтена при нахождении вертикальной составляющей скорости мяча скорость, которой обладает мяч спустя 4 секунды после подъема вместе с шаром?

Smoke, моя ошибка.

S = vo2 (sin2 α) / g.

А как же насчет второго вопроса?
В условии написано, что мяч бросили, когда шар поднялся на определённую высоту за 4 секунды. Я понимаю, что мяч не двигался относительно шара. Поэтому немного не понимаю вопрос. Что Вы предлагаете?
В момент отрыва мяча от (вероятно) руки бросающего мяч в системе отсчета "мяч-Земля" приобретает скорость относительно Земли, вертикальная составляющая которой складывается из скорости мяча в момент броска и сообщенной ему вертикальной составляющей скорости. Для решения Вы выбрали систему отсчета "мяч-Земля", отсюда и возник вопрос.

То есть решение неверное?

Я могу лишь предположить, а сказать точно может В. Грабцевич. Мое предположение: решение неверно, попробуйте решить с учетом моего напутствия. Да и зачем движение разбивать на участки? Куда проще рассмотреть движение через все расстояние сразу.
Предложу вариант моего решения.

Спустя to = 4 с воздушный шар и мяч вместе с ним имеют скорость v относительно Земли:

v = aoto.

В момент броска мяча ему сообщают скорость vo, вертикальная составляющая которой равна vo sin ?, горизонтальная составляющая — vo cos ?.

Таким образом, мяч начинает двигаться относительно Земли со скоростью с вертикальной составляющей vy = v + vo sin ? = aoto + vo sin ?, с горизонтальной составляющей vx = vo cos ?.

Начнет движение мячик с высоты ho, которая равна ho = aoto2 / 2.

Запишем уравнения движения мяча в проекциях на оси Ох и Оу:

Ох: s = vхt,     (1)
Oy: h = ho + vyt − gt2/2,     (2)

где t — время движения мяча до падения на Землю.

Положим в (2) h = 0 и решим уравнение относительно t:

t = [vy + √(vy2 + 2gho)] / g.

Подставим в (1):

s = vo (cos ?) {aoto + vo sin ? + √[(aoto + vo sin ?)2 + gaoto2]} / g.

Подставив числовые данные, получим: s = 7.08 м.