Сумма показаний всех амперметров и вольтметров (7 июля 2009)

К батарейке U = 1,5 В подключена очень длинная цепь из множества одинаковых амперметров и такого же количества одинаковых вольтметров (см. рис.). Каждый из амперметров имеет сопротивление r = 1 Ом, сопротивление каждого вольтметра R = 10 кОм. Что показывают первый и второй амперметры? Найдите сумму показаний всех амперметров и сумму показаний всех вольтметров в этой цепи.

Задача с олимпиады МИФИ, Росатом, 2008.

Кому интересно, можете решить, подсказки не нужны, т.к. в прошлом году решал эту задачу, показалась полезной и необычной.

Комментарии

Примерно так:

  • первый амперметр 14.925 мА,
  • второй амперметр 14,77 мА,
  • сумма амперметров 1,5 А,
  • сумма вольтметров 149,2 В.
Ну да, похоже на правду.
das, персонально напоминаю: не более 1 размещенной задачи в 10 дней.
Из вредности − нет решения, идеи, а только циферки, причем одна только правильная.
А по-моему, правильные все (до 1-ого знака после запятой).
из вредности, Владимир Иванович, у Вас не то что решения, даже циферок нет ;)

А у меня есть :)

  • I1 = 0,014925187 A.
  • I2 = 0,01477668 A.
  • I = 1,5 A.
  • U = 149,251875 B.
Провокация не удалась.

Мой ход. Я бы определил общее сопротивление для начала, оно равно 100,50125 Ом.

Для нахождения эквивалентного сопротивления цепи необходимо выделить общую секцию, которая бесконечно повторяется. Вполне очевидно, что если отделить ее от цепи, то общее сопротивление этой цепи не изменится, т.к. число элементов (секций) бесконечно. В силу вышесказанного, выделим повторяющуюся секцию в цепи и заменим сопротивление остальной цепи искомым сопротивлением R.

Причем R параллельно сопротивлению вольтметра и затем последовательно амперметру.

R = 10000 R / (10000 + R) + 1.

Далее приводим к квадратному уравнению относительно искомого общего сопротивления R.

После нахождения общего сопротивления, находим общий ток в цепи (показание первого амперметра) и получаем первую цифру.

хорошо, Владимир Иванович, а какие циферки неверные, по Вашему мнению?
Полное решение задачи.

Дано: U = 1,5 В;   r = 1 Ом;   R = 10000 Ом.

Обозначу: X — общее сопротивление цепи, u1; u2 - показания первого и второго вольтметров, V — сумма показаний всех вольтметров, i1;   i2 — показания первого и второго амперметров, I — сумма показаний всех амперметров.

X = r + RX / (R+X);

X2 − rX − rR = 0;

X = (r + √(r2 + 4rR)) / 2 = (1 + √40001) / 2 = 100,50125 Ом.

Это не точное значение X, оно округлено.

А дальше задача решается так.

Показания вольтметров и амперметров составляют две геометрических прогрессии. Найдём их квоциенты. Но сначала найдём показания первого вольтметра и амперметра:

i = i1 = U/X = 1,5/100,50125 = 0,014925188 А = 14,925188 мА;

u1 = U − ir = U − Ur/X = U (1 − r/X) = U (X − r) / X = (1,5 × 99,50125) / 100,50125 = 1,4850748 В.

При этом u1 — первый член прогрессии напряжений, её квоциент q = (1 − r/X), так как это соотношение выполняется в каждой цепочке. По формуле суммы членов бесконечной геометрической прогрессии:

S = u1 / (1 − q)

находим сумму показаний всех вольтметров V;

вычисляем 1 − q = r/X;

тогда V = u1X/r.

V = (1,4850748 × 100,50125) / 1 = 149,25187 В.

Для показаний амперметров первый член прогрессии i = i1, квоциент прогрессии найдём из того, что при параллелльном соединении ток распределяется обратно пропорционально сопротивлениям; i2 = i1R / (R + X), так как R — одна ветвь, X — другая ветвь, а (R + X) — их сумма.

Таким образом, квоциент прогрессии для токов q = R / (R + X), величина 1 − q = 1 − R / (R + X) = X / (R + X); тогда сумма показаний всех амперметров I = i / (1 − q) = i(R + X) / X = (0,014925188 × 10100,50125) / 100,50125 = 1,5 А.

Но это не точное значение I (приближённое — 1,50000005 А).

Ответ.

X = 100,50125 Ом;

i1 = 14,925188 мА;

I = 1,5 А;

u1 = 1,4850748 В;

V = 149,25187 В.

das, я попыталась ещё найти те значения сопротивлений, при которых X вычисляется точно, как целое число; нашла, что это будет только при отношении сопротивлений R/r = 2. Тогда X = 2r. Получается более лёгкая задача, когда бесконечная цепь составлена просто из сопротивлений r и R = 2r (а не амперметров и вольтметров), найти надо общее сопротивление цепи.

das, пусть для Вас тоже этим летом в листях деревьев играют солнечные лучи! Я желаю искренне! Желаю этого всем читателям портала!

А inkermanu ещё и спасибо за правильные циферки. На этот раз я не перепутала ничего, spaits?

spaits,

1) Решение очень трудное, есть более легкое;

2) Не доказано, что геометрическая прогрессия. Дальше уже не смотрел.

А я решал так же как и spaits. Тоже сначала полное сопротивление, потом показания первого и второго амперметров, а потом из геометрической прогрессии — сумму показаний амперметров и вольтметров.

das, покажите, пожалуйста, более лёгкое решение.

Кстати, spaits, Ваш родной язык — латгальский (восточная Латвия)? А ник означает просто луч или именно луч солнца в листве деревьев?

1) Cопротивление правильно нашел В. Грабцевич: Z = 100,5 Ом;

2) Iобщ = U/Z = 0,015 A;

3) По обычным законам Ома находим ток через 1-ый и 2-ой амперметры, это легко;

4) Кирхгофа пишем так:

U = r (I1 + I2 + ... + In + ...)   ⇒

I1 + I2 + ... + In + ... = U/r = 1,5 A.

5) Опять Кирхгофа пускаем в "бой":

U − I1r = i1R,

U − I2r − I1r = i2R   и т.д.,

где ii — ток через i-ый вольтметр. Ну и, складывая все уравнения, получаем V = 150 В.

Либо так: очевидно, что i1 + i2 + ... = I1   ⇒

V = I1R = 150 В.

Первая часть такая же. А вот с суммарным показанием всех приборов, конечно, красиво :)
Решение spaits хорошее, но довольно сложное в математическом плане, есть много мест, где можно ошибиться. Да и писать много, на олимпиаде вряд ли бы кто из не решавших задач таким методом смог бы его применить.
inkerman, хочу обратить внимание на свой неверный вывод о точности ответа. А именно: ответ I = 1,5 А (сумма токов) — точный, а я сделала вывод, что приближённый. Здесь можно говорить о точности ответа, так как задача теоретическая. Не бывает же бесконечно много элементов в реальной цепи. Я допустила ляпсус при оценке ошибки. Если X (общее сопротивление цепи) рассчитано с точностью до 8 знаков, то нельзя делать вывод о неточности значения I, если расхождение оказалось в 10-ом знаке. Вывод: не надо писать комментарии ночью или в 6 утра. Поэтому сегодня закругляюсь.

das, Ваше решение по нахождению I красивое, оно как бы на виду, а я увлеклась своим и не заметила. Если Вы считаете, что прогрессии — сложная математика, то где тогда простая? Тогда и закон Киркхофа — не простой. Самый простой закон — это сказать о мнении других: "А я даже не читал".

inkerman, да, мой родной язык — латгальский. Spaits — это не луч, а блик солнца, игра лучей, и не обязательно в листях деревьев, может быть даже в полуденной дымке. Это слово чаще всего употребляется как глагол: "sauleite spaitoj", что можно перевести как "солнышко играет".

К анализу этой задачи я постараюсь вернуться.

spaits, а где у Вас доказательство того, что получается геометрическая прогрессия? И вообще, не всякий школьник помнит сумму бесконечной геом. пр.
das, читайте внимательнее (а то Вы хвастались, что совсем не читали).

Я писала: распределение токов (ну, и напряжений, конечно) во всех цепочках одинаковое. Это значит: i2 = q × i1;   i3 = q × i2 и т.д. А формула S = a / (1 − q) для бесконечной геометрической прогрессии входит в программу средней школы. Анализ этой задачи я проведу позднее, сейчас у меня нехватка времени.

Как-то Вы странно решаете, то, что понятно, пишете очень подробно, а такие вещи, например, как "... так как это соотношение выполняется в каждой цепочке." не доказываете (хотелось бы увидеть доказательство для i-ой и (i + 1)-ой цепочки).

Да и вообще, какой смысл говорить о точности? Задача эта (точнее ее решение) имеет практическое применение при большом числе ампертметров и вольтметров (напр. 100 шт.), в этом случае Ваше решение не точно.

А если говорить о сложности, то Кирхгоф применяется практически постоянно, тогда как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии не применяется почти нигде.

das, тут вот какое дело:

1) Кирхгоф изучается только в физмат. классах, а обычные про него не знают даже.

2) Геом. прогрессию и бесконечно убывающую знают все во всех школах во всех классах. Вернее, учат все... Вернее, всех учат... :)

3) Обычно закон Кирхгофа применяется для конечных контуров, и тут вся особенность применить его для бесконечного (по сути замкнутого на бесконечности) контура. В этом вся фишка и соль задачи через Кирхгофа.

4) Если такой контур не увидеть, то самое простое, что можно сделать, раз уж найдены токи на первом и на втором, — можно попытаться увидеть закономерность в токах через амперметры. Оказывается, каждый следующий отличается в q раз, а дальше геом. прогрессия и ответ получаются автоматически.

Поэтому лично мое мнение таково, что через прогрессию доступнее, но более громоздко и является решением "в лоб", а решение через Кирхгофа — менее доступно, но короче и изящнее.

das, вот Вы и приступили к анализу точности решения задачи. Если принять, что число цепочек конечно, то неточным будет определённое В. Грабцевичем общее сопротивление X и ток через первый амперметр I1.

Между прочим, Вы вовсе не стали вычислять I1, написали: "Ну, это легко". Тогда оцените хотя бы точность определения I1 и X при Вашем предположении. Обозначения здесь, как в приведённом выше моём решении. Насчёт того, что токи составляют геометрическую прогрессию, то при бесконечном числе цепочек — да. Примените закон Киркхофа в точках разветвления токов в первой, второй цепочке и т.д. Здесь снова, как при вычислении X, оставшаяся цепь заменяется значением X. Просто.

Насчёт закона Киркхофа, что он в электротехнике применяется чаще, чем геометрические прогрессии, Ваша правда, но сейчас мы говорим о точности полученного ответа. Да, сумму токов Вы нашли красиво. Но как с точностью определения общего тока (тока первого амперметра), если общее сопротивление найдено неточно? Поясните, пожалуйста.

1) Можно общее сопротивление считать обычным способом, но это долго, если предположить, что, например, показания 1-ого амперметра известны, то можно найти и сопротивление. И тогда предложенное мною решение полностью подходит. Не вижу смысла оценивать точность, практически это ничего не даст. Какой смысл здесь вообще говорить о точности? Что нам это даст?

2) Ну вот, видите, чтобы еще доказать, что присутствует геометрическая прогрессия, нужно писать хотя бы 3 (2 нужны, а вот 1 необязателен, а еще лучше написать 4-5 для самопроверки) Кирхгофов (как минимум, чтобы заметить, что тут прогрессия). Да и вообще, получается нестрогое доказательство, кто знает, может быть, на каком-то шаге прогрессия нарушится. Нельзя ли доказать для k и k + 1 цепочки?

3) Ну и вообще, если общее сопротивление брать, как Вы посчитали, 100,50125 Ом, то ток общий получим 0,0149252 A,

а при 100,5 Ом0,0149254 A   ⇒

((0,0149254 − 0,0149252) / 0,0149254) × 100% = 0,003%.

Уважаемый das!

1) Если считать, что дан ток в первом амперметре I1, то это будет совсем другая задача.

2) Закон Кирхгофа нужно применить только к первой точке разветвления тока, при этом оставшуюся часть схемы заменяют на сопротивление X. Вторая цепочка и последующие будут точно такими же, как первая, поэтому коэффициент (во сколько раз уменьшается ток), будет тот же. Схемы-то одинаковые!

3) Я просила Вас оценить совсем другую ошибку. Какая будет ошибка при вычислении X, если число цепочек N конечно? Конечно, вычисляя сумму токов Вашим методом, теоретическая ошибка равна нулю, то есть ошибки нет. Но это не относится к вычислению X, I1 и U1. Ведь при вычислении X предполагается, что цепь — бесконечная. Я просила Вас оценить ошибку при переходе от бесконечной цепи к конечной. Метод прямого расчёта для N = 100 Вы сами отвергли.

Можно доказать и нужно доказывать по индукции для k и k + 1 цепочек. Для этого достаточно обозначить напряжение на k цепочке как U, найти напряжение на k + 1 цепочке, показать, что они отличаются в N раз, причем N не зависит от k, т. е. доказывается, что напряжения вольтметров будут образовывать геом. прогрессию. На олимпиаде никто не будет на этом заморачиваться. Кто увидит — просто напишет "напряжения образуют геом. прогрессию", чтобы не тратить время на описание доказательства. Я просто хочу отметить, что доказать можно строго и не нужно рассматривать 5-6 цепочек для достоверности.
1) spaits, другая но очень похожая;

2) inkerman, просто spaits сначала написала: "Примените закон Кирхгофа в точках разветвления токов в первой, второй цепочке и т.д.". С доказательствам насчет геометрчиеской прогресси согласен с inkerman и spaits.

3) при N = 100   Z = 131,8055 Ом   ⇒

(Z(N = 100) − Z(N → inf)) / Z(N = 100) = 0,24;

N = 1000   Z = 100,5013 Ом.

Приведу вычисление I в общем виде своим окольным путём, так как выше решение в общем виде мною не было доведено до конца. Повторяю обозначения: U — напряжение источника тока, r — сопротивление амперметра, R — сопротивление вольтметра, X — общее сопротивление цепи, i1 — показание первого амперметра, i2 — показание второго амперметра, q — квоциент прогрессии убывания токов, I — сумма показаний амперметров (сумма токов).

Вычислено ранее:

X = (r + √(r2 + 4rR)) / 2;

i1 = U/X;

i2 = i1R / (R + X);

q = R / (R + X);

1 − q = X / (R + X).

Тогда I = i1 / (1 − q) = (U / X) × (R + X) / X = U (R + X) / X2.

Вычисляю отдельно: R + X = R + (r + √(r2 + 4rR)) / 2 = (2R + r + √(r2 + 4rR)) / 2;

X2 = r (r + 2R + √(r2 + 4rR)) / 2.

Подставляя эти значения в выражение для I и сокращая, получаю: I = U / r. Точное значение. Привожу решение потому, что положено решать в общем виде до конца. Тот же ответ у das, он нашёл его блестяще. Даже зная I, мы не можем найти i1, если неизвестно X. Но X легко вычисляется только переходом к бесконечной цепочке. Я и прошу Вас, das, оценить ошибку определения X, i1, u1 и V при переходе от бесконечного к конечному числу цепочек. Да, сумма токов I определяется точно при любом числе цепочек N. И она единственная из величин, которые требуется определить в данной задаче, не зависит от N. Сумма показаний вольтметров (сумма напряжений) V тоже зависит от N. Я не привожу здесь вывода формулы, но V = U (X − r) / r, а X ведь зависит от N, не так ли, das?

И только при бесконечном N выполняется равенство V = (U / 2r) × √((r2 + 4rR) − r) = 149,25147 В. Конечно, это трудоёмкая задача, но, возможно, стоит исследовать, как зависят искомые величины от N, если число цепочек конечно. Сумма токов I не зависит, она единственная не зависит от N.

das, пока я писала свой комментарий, Вы уже начали исследование зависимости Z (у меня обозначено X) от N. Хорошо бы исследовать зту зависимость и при небольших N, а то Вы начали со ста. И относительную ошибку лучше считать по отношению к Z при N, стремящемся к бесконечности, а не к Z при N = 100 или сколько там N будет каждый раз.

А я написала "Кирхгоф" неверно, это не нарочно, извините за ошибку.

Зная общий ток I, можно найти ток и через 1-ый вольтметр (i1). Ошибку для i1, u1 можете посчитать сами, сопротивление я нашел. Ну а какой смысл считать при малых N, если при N = 100 уже получается довольно большая ошибка (24 %)?
das, да, ток через первый вольтметр легко посчитать, если известен общий ток, то есть известно общее сопротивление цепи X. Но оно как раз неизвестно, если цепь конечна. Как Вы посчитали X при N = 100? Вручную? Я бы не смогла. Ошибку вычислений при замене бесконечной цепи на конечную имеет смысл считать только как функцию R, r и N. Это по поводу подсчёта ошибки.

Я уже упоминала более простую задачу, чем эта.

Дана такая же бесконечная цепь, но вместо амперметра — сопротивление r, вместо вольтметра — сопротивление R = 2r. Требуется вычислить общее сопротивление цепи X.

Решение. Применяю уже выведенную формулу, X = (r + √(r2 + 4rR)) / 2 = (1 + √(1 + 4 × 1 × 2)) / 2 = (1 + √9) / 2 = (1 +3 ) / 2 = 2 Ом. И всё.

Для этой цепи уже при N = 3 отличие общего сопротивления от X составляет менее 3 %.

Эту задачу я предлагаю как более простую, чем данная задача. Я её нашла, исследуя те целочисленные значения R и r, при которых в формуле для X при извлечении корня получается целое число. Я нашла только одно соотношение: R = 2r. И тогда общее сопротивление бесконечной цепи X = 2r.

Упаси Боже считать вручную. Написал простенькую программку на Pascal, и она посчитала. Могу код дать.
а зависимость отклонения конечной цепочки от бесконечной (X(k) /X − 1) × 100% следующая:

зависимость

Страницы

Надоело разбираться?