Через какое время шайба остановится? (5 июля 2009)

На гладкой горизонтальной поверхности лежит доска [т.е. между ними трения нет] массы M, а на доске — шайба массы m. Коэффициент трения между доской и шайбой μ. Шайбу привели в движение со скоростью Vo. Через какое время t она остановится?

Задача с ЕГЭ (какого года? - прим. админ.)

P.S. желательно не искать решение этой задачи в Интернете.

Комментарии

Из ЗСИ найти конечную скорость шайбы относительно земли.

Зная начальную, конечную скорости и ускорение , можно найти время.

+ ЗСЭ. И еще какое-то кинематическое уравнение, связывающее перемещение и время.
Задачу решить можно по-разному. Это как приехать из Минска в Москву. Можно напрямую, а можно через Киев. :) Тут можно обойтись без ЗСЭ.

Я предложил решение в 2 этапа. На мой взгляд, более кратко решить не получится.

Опять мы спорим, das. Какой закон сохранения энергии? Повышение температуры шайбы и бруска будете высчитывать?
Нет, конечно, в школе, как я помню, всегда писали так:

mV2/2 + μmgS = (m + M) U2/2.

Да, но в левой части уравнения второе слагаемое со знаком "−".
spaits, это точно, так бы получалось странно, что энергия возросла.
Т. е. Вы бы нашли сначала скорость "после" U, потм путь по доске S, потом время t.

Итого 3 этапа. ИМХО, это сложнее, чем два.

Там есть еще 1 решение чисто через законы Ньютона.
9 комментариев и ни одного решения. Как в том анекдоте: кукушка-кукушка, сколько мне осталось жить? Ку - так ма.

Хоть одно решение. Спасибо.

Ну, если по методу inkerman'а, то так:

1.1)   2-ой закон Ньютона:   maтр = μmg.

1.2)   З.С.И.:   mVo = (m + M) U.

1.3)   μgt = Vo − U.

t = (1/μg) • (MVo / (m + M)).

Я предлагаю так:

2.1)   З.С.Э.:   mV2/2 − ?mgS = (m + M) U2/2.

2.2)   S = Vot − (μg + U/t) t2/2   (тут использовался результат 1.1).

Применяем еще 1.2 и находим t.

Задача решена другими. Я повторяюсь.

Для новичков, которые сюда придут, излагаю подробно и называю обозначения.

Горизонтальную гладкую поверхность для краткости назову столом. Дано, что vo — скорость шайбы относительно стола до соприкосновения с бруском. Введу обозначения скоростей сразу после соприкосновения шайбы с бруском:

v1 — скорость шайбы относительно бруска;
u — скорость системы брусок-шайба относительно стола.

Тогда v1 = vo − u.

По закону сохранения импульса mvo = (m + M) u; отсюда:

u = vom / (m + M);

v1 = vo − vom / (m + M) = voM / (m + M).

Далее рассматриваю движение шайбы только относительно бруска. Начальная скорость движения v1 уже найдена, сила трения — постоянна, поэтому движение будет равнозамедленным, время до остановки t = v1 / |a|, где |a| — модуль отрицательного ускорения; по второму закону Ньютона |a| = μg   (g — ускорение свободного падения).

Получаем:

t = voM / ((m + M) μg).

Это и есть ответ.

У Вас абсолютно то же решение, das.

Только, если не трудно, дайте полное решение своим методом. Было бы интересно сравнить.

2.1) Это обычный З.С.Э., или можно сказать, что это теорема о кинетической энергии:

T2 − T1 = AFтр.

AFтр = −mgSμ, где S — перемещение шайбы по доске относительно ее же.

2.2), т.к. движение равнозамедленное, то можно записать: S = Vot − at2/2   (a > 0).

Но т.к. мы перешли в неИ. С. О. доски, то:

a = μg + U/t

(здесь a = aотн = aабс − aпер;

aабс = −μg;

aпер = (U − 0) / t).

Еще есть такое решение (на его существование указал das):

ускорение бруска a1 = −gμ,

ускорение доски a2 = gμm / M.

Когда брусок остановится, сокрости доски и бруска сравняются, тогда:

скорость бруска u1 = a1t = gμt.

скорость доски u2 = V0 + a2t = V0 − gμtm/M.

Vo − gμtm/M = gμt.

Решаем уравнение, находим t.

Только, если я не ошибаюcь, наоборот:

U1 = Vo + a1t.

U2 = a2t.

да
Красивое решение, inkerman.

Между прочим, если за систему отсчёта взять движущуюся относительно бруска шайбу, то первоначально написанные Вами уравнения тоже верные. Поправка das несущественна.

А по-моему, там a2 будет другое.
У inkermana всё верно.
И как же оно получилось тогда, spaits, если известно переносное и абсолютное ускорение?
Оба ускорения абсолютные.

Переносные системы инерциальны, ускорения при этом не меняются, а скорости переносных систем равны в одном случае начальной скорости шайбы (у inkermana), в другом случае — абсолютной начальной скорости бруска (у Вас).

Я давеча не написала про скорости систем, что они связаны с начальными скоростями шайбы (или бруска). Пропустила слово "начальными".

spaits, а что это за с.о., связанная с шайбой? Что за шайба? Та, которая на доске лежит? Тогда почему эта с.о. вообще инерциальная?
Прочитал внимательно Ваши комментарии. По ходу дела возникло пару вопросов.

1. Задача с ЕГЭ? Какого года, номер варианта, номер задачи. Хочется прочитать оригинал.

2. Интересно, длина доски не играет никакой роли? А если шайба свалится с доски прежде, чем остановится на ней, или доска бесконечная, или она никогда не свалится?

Ай, das, это воображаемая система отсчёта, связанная с начальным положением шайбы на бруске и движущаяся с этой постоянной скоростью, поэтому начальная скорость шайбы в этой системе принимается равной нулю. Так же будет, если связать систему отсчёта с начальным положением бруска, так как надо брать инерциальную систему отсчёта.

Но пусть лучше пояснит inkerman, это его идея — он нашёл это красивое решение.

Замечание В. Грабцевича правомерно. В ответе надо написать, при каких размерах бруска шайба не свалится. Это совсем не трудно.

1. Если шайба остановится на доске, то:

t = vM / ((m + M) ?g).

2. Если же шайба выскочит с доски, то она будет двигаться дальше (идеальные условия бесконечности гладкого стола) и t стремится к бесконечности.

Покопавшись в своей базе задач, нашел одну:

(МГУ, 1997). На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы M. На конец доски кладут шайбу массы m, которой ударом сообщают скорость v вдоль доски к ее противоположному концу. Коэффициент трения шайбы о доску равен μ. На какое расстояние от исходного положения переместится по доске шайба, если известно, что шайба не соскальзывает с доски?

s = vt/2 = (vM / (v + M)) × (vM / (2(m + M) μg)) =

= vM2 / (2μg(m + M)2).

Решение вытекает из предыдущей задачи, vo заменено на v.

Проверьте размерность конечной формулы.
Да, вместо v2 я написала v.

Надо: s = v2 × M2 / (2μg (m + M)2).

У меня не получается степени писать по Вашим правилам.

Я Вам, spaits, напишу авторский ответ:

S = Mv2 / (2μg (m + M)).

Правила не наши, это обычный HTML. Как писать текст, можно увидеть слева в блоке "Помощь по HTML" (он виден при составлении комментария) или в исправленных комментариях.

Страницы

Надоело разбираться?