Чему равно сопротивление сетки? (6 июня 2009)

В каждое ребро бесконечной сетки с квадратными ячейками включено сопротивление R. Чему равно сопротивление сетки при подключении ее с соседними узлами? То же вычислить, если будут треугольные ячейки.

Задача 1275 из сборника А. И. Черноуцана, "Учебно-научный центр довузовской подготовки и кафедра физики", страница 100.

Комментарии

Квадратная сетка. Обозначим наши точки А и В. Будем считать, что ток течет из А в В. Сообщим потенциал точке А. Из соображений симметрии ток из ней потечет во все четыре стороны одинаковый и равный I/4, так как на бесконечности потенциал равен нулю. Аналогично создаем потенциал другого знака в точке В. Из принципа суперпозиции в нашей задаче по участку АВ потечет ток I/2. Значит, ток по участку АВ равен току по сетке без этого участка.

Следовательно, сопротивление участка АВ равно сопротивлению сетки без участка АВ. Но сопротивление участка АВ равно R, значит, сопротивление между точками А и В равно R/2.

В дополнение стоит привести следующую задачку (концовка статьи "Сопротивление рёбер многомерного куба" ("Квант", № 6, 1988; стр. 21-24)):

"Покажите, что сопротивление между соседними узлами схемы из m узлов, в каждый из которых входит s сопротивлений в 1 Ом, равно R = (2/s) (1 − 1/m).

Например, для бесконечной двумерной квадратной сетки получается простой ответ: R = 1/2 (s = 4, m = inf). Для сетки из треугольников (s = 6, m = inf) R = 1/3, для сетки из шестиугольников (s = 3, m = inf) R = 2/3, для тетраэдра (s = 3, m = 4) R = 1/2. Для n-мерного куба получаем (s = n, m = 2n) R = (2/n) (1 − 1/2n).

Ещё более интересна (но, увы, не элементарна!) задача о подсчёте сопротивления между соседними диагональными узлами бесконечной квадратной сетки из сопротивлений в 1 Ом. Ответ оказывается равным 2/π Ом, хотя в схеме нет ни намёка на окружность!"

Дополнение.

Напряжение между точками A и B равно:

U = IRобщ, или U = (I/2) R,

откуда:

Rобщ = R/2.

Для треугольных ячеек:

U = IRобщ, или U = (I/3) R,

откуда:

Rобщ = R/3.

Надоело разбираться?