Когда лодка и плот прибыли в город? (28 апреля 2009)

Города A и B расположены на берегу реки, причём город B лежит ниже по течению. В 7 часов утра из A в B отправился плот, плывущий относительно берегов со скоростью течения реки. В 9 часов утра из B в A отправилась лодка, которая встретилась с плотом в 11 часов утра. Доплыв до города A лодка мгновенно повернула обратно и приплыла в город B одновременно с плотом. В какое время они прибыли в город B?

Задали в школе (г. Казань, школа № 131, 8 кл.).

Для начала приведем к соответствию, т. е. к 9-00.

В этот момент плот находится в некоторой точке, например, C. До этой точки плот двигался два часа по течению. В этот момент меняем систему отсчета, связав ее с водой. Плот остановлен, а лодка плывет к нему со своей скоростью и поравняется с ним через два часа. В результате этих соображений имеем:

CB/AC = vл/vm.     (1)

Далее плот плывет расстояние:

CB = vmt1.     (2)

За это время лодка доходит до т. А и возвращается в пункт B одновременно с плотом.

t1 = AC/(vл − vm) + (AC + CB)/(vл + vm).     (3)

Выражая из (1), например, CB, а из (2) t1 и, подставляя в (3), после приведения подобных связываем скорость лодки и течения: vл = 2vm.

Следовательно, CB/AC = 2, лодка затратит на расстояние AC 1 час.

AB = (2vm − vm)3 = (2vm + vm)t,

откуда время обратного возвращения 1 ч.

Лодка будет в пути 4 часа и прибудет в 13-00. Плот будет в пути 6 ч.

Но тогда получается, что плот расстояние АС проходит за 4 часа (дано по условию задачи), а расстояние СВ за 2 часа. Как такое может быть, если СВ/АС = 2/1??
В точку С плот пребывает через 2 ч в 9-00 (читайте первое предложение). Расстояние CB плот проплывает по течению за 4 ч. Плот в пути 6 ч и приплывает в точку B в 13-00.
Спасибо за комментарии. Теперь разобрался с точкой отсчёта времени. А возможны другие подходы к решению данной задачи? Например, через систему уравнений? Как Вы думаете?
Возможны и другие способы решения через составление систем уравнениий. Составьте, помучайтесь, потом обсудим Ваши результаты.
Пусть x — скорость течения, y — скорость лодки.

Тогда на 9-00 имеем уравнение вида:

2y/x = 2x/(y − x) + (2y + 2x)/(y + x),

из которого следует, что y = 2x.

Но не могу сообразить, как выразить время.

Если Вы хотите решить задачу своим способом, то и ищите свой способ. На 9-00 Вы частично будете повторять решение, предложенное выше.

Возьмите за начало отсчета положение плота, составьте для него уравнение движения, аналогично составьте уравнение движения для лодки, в момент втречи у них совпадают координаты. Это произойдет в 11-00. Порассуждайте в этом направлении.

У меня опять к Вам вопрос по задаче.

За какое время лодка проходит путь после встречи с плотом до точки "С" (в которой плот был в 9 часов)? Если расстояние от точки "В" до встречи с плотом лодка проходит за 2 часа, АС — за час, тогда какое же расстояние от места встречи с плотом до точки "С"?

Вы пишете:
_____________

Далее плот плывет расстояние:

CB = vmt1.     (2)

За это время лодка доходит до т. А и возвращается в пункт B одновременно с плотом.

t1 = AC/(vл − vm) + (AC + CB)/(vл + vm).     (3)
_____________

Но здесь не отражено время от встречи с плотом до точки "С". Или я чего-то не понимаю?

Время t1 — время движения плота от точки С в конечный пункт В.

До точки С плот плыл 2 ч: от 7-00 до 9-00.

Общее время движения плота из А в В равно сумме t1 + 2 ч = 6 ч.

Но ранее Вы писали: "Лодка будет в пути 4 часа и прибудет в 13-00. Плот будет в пути 6 ч."
Какой ты ... упрямый: во сколько вышла лодка? В пункт В плот с лодкой приплывают одновременно в 13-00? Если плот в пути 6 ч, то сколько времени в пути будет лодка?
Я не упрямый. Я хочу понять. Но пока я до конца так и не понял. Может, я ...
Нет, ты упрямый: в нашем деле упрямство — хорошее качество, это звучит как комплимент!
Я тут на досуге порассуждал, и у меня вот что получилось. Если взять за х скорость лодки, а за у — скорость плота, то на момент встречи (11-00):

4у/х − у + 4у + 2(х − у)/х + у = 2(х − у)/у.

В результате получаем, что скорость лодки в 3 раза больше скорости плота: х = 3у. Подставим в уравнение вместо х и получим, что лодка и плот придут в город В через 4 часа, после встречи т.е. в 15-00.

4у/х − скорость делим на скорость, получаем безразмерную величину;

у − скорость измеряется в м/с.

Что-то уравнение мутное.

4y — это расстояние, пройденное лодкой от места встречи с плотом до города "А". А 4y/(x − у) — это время, за которое лодка прошла путь от момента встречи до города "А". Всё очень просто.
Читайте свой комментарий:

...Если взять за х скорость лодки, а за у — скорость плота....

Сначала разберитесь с обозначениями, прорешайте и сделайте проверку, потом публикуйте.

Прежде чем публиковать, я прорешал:

4y/(x − y) + (4y + 2x)/(x + y) = 2x/y,

x = 3y.

Скорость течения реки = скорости плота, с этим не поспоришь.

Комментирование страницы закрывается, чтобы дать возможность пользователям спокойно и вдумчиво разобраться в решении задачи.