Активность изотопа (14 апреля 2009)

Радиоизотоп (32|15) P образуется в ядерном реакторе с постоянной скоростью 2,7 × 109 ядер/с. Через сколько времени после начала работы реактора активность этого изотопа станет равной 109 расп./с?

Царев, "Контрольные по физике", задача 4,98.

A = λNoln (−λt).

Отсюда выразите t.

No = 2,7 × 109 — начальное количество ядер.

T — период полураспада (табличное).

λ = (ln 2)/T — постоянная распада.

у меня получается −41,87 (примерно). Настораживает минус. Правильно ли вообще значение?
T1/2 = 14,3 сут = 1,23552 × 106 c.
А у меня вообще не получается:

A = ?Noln (−?t).

ln (−?t) = A/(?No).

ln (−?t) + ln t = A/(?No).

ln t = A/(?No) − ln (−?).

ln t = Aln (−?) − ln (−?) ?No / (?No ln (−?) ).

В итоге получается:

ln t = AT / (ln 2 No) − 1.

ln t = 0,4576 × 106 / ln 2.

Как определить, чему равен ln x, с помощью калькулятора, не пользуясь таблицей натуральных логарифмов?

Запишем уравнение:

dN/dt = g − λN,

где g − постоянное образование частиц, λN − активность нуклида.

Мы видим, что N приближается к постоянной g/λ. Это можно доказать, умножив на eλt обе части уравнения:

d(Neλt)/dt + λeλtN = geλt.

Тогда:

d(Neλt)/dt = geλt,

или

Neλt = (g/λ)eλt + const,

при t = 0, N = 0

0 = g/λ + const.

Отсюда:

N = (g/λ) × (1 − e−λt).

Активность равна:

A = λN = g(1 − e−λt).

1/2,7 = 1 − e−λt.

Это дает:

λt = 0,463.

Окончательно:

t = 0,463/λ = 0,463 × T/0,693 = 9,5 сут.