Найти максимальный угол отклонения маятника (1 марта 2009)

Маятник длиной 1 м качается, отклоняясь от отвесного положения на угол 30°. В момент прохождения положения равновесия нить его зацепилась за гвоздь на середине его длины. Найти максимальный угол отклонения укороченного маятника.

Источник: "Сборник задач по физике для 8-10 класов средней школы". В. П .Демкович, Л. П. Демкович. 1981 г., Москва, "Просвещение".

Мое расуждение.

Амплитуда до столкновения маятника с гвоздем равна: xm = vm/√g.

Однако при столкновении маятник отдает часть своей кинетической энергии. В итоге, скорость маятника уменьшается. К тому же длина маятника уменьшилась вдвое, а значит уменьшился период (до столкновения) в 1,4 раза, значит, уменьшается амплитуда колебаний вместе с углом отклонения.

Угол отклонения мы найдем по формуле: cos β = x/xm.

Вопрос: как найти x и скорость маятника? А может быть, их и вообще не надо находить?!

Потенциальная энергия в первом состоянии равна потенциальной энергии в конечном состоянии:

mgl(1 − cos α) = mg(l/2)(1 − cos β).

Из последнего уравнения находите угол отклонения β.

А почему потенциальная энергия в первом состоянии равна потенциальной энергии во втором состоянии? Ведь после столкновения амплитуда уменьшается, ускорение уменьшается, а значит, и уменьшается потенциальная энергия. Или я не прав?

И еще один вопрос. Как Вы нашли потенциальную энергию? Кажется, формулу Вы вывели с помощью сложения сил, действующих на маятник?

Постойте, потенциальная энергия равна mgh. Очевидно, что h = l (1 − cos α). Только эту запись я не понял.
Все, все. До меня дошло. Я понял, как вывести эту формулу. Это же так просто. Видимо, вчера голова совсем не соображала.
У меня возник еще один вопрос. Допустим, дана масса маятника. Как найти кинетическую энергию? В положении равновесия она будет такой же, как и потенциальная энергия в точке наибольшего отклонения маятника?
Если пренебрегается потерями энергии на трение о воздух маятника, на трение нити и ее взаимодействие ..., то выполняется закон сохранения механической энергии:

П = К.

В противном случае применяется закон сохранения полной энергии:

П = К + Q.

Объясните, плз, подробнее решение задачи, особенно откуда h = l (1 − cos ?).