Cредняя скорость движения тела (29 декабря 2008)

Тело, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, прошло некоторый путь. Определите отношение средней скорости движения тела на второй половине пути к средней скорости на всем пути.

Задача заочной школы.

На правах рекламы: Смотреть онлайн

Воспользуемся графическим методом:

1. Построим график зависимости скорости от времени.

2. Площадь под графиком скорости численно равна пройденному пути.

3. Приравняйте площади треугольника и трапеции, выразив скорости через ускорение. В результете этого вы получите уравнение в котором будут только времена. Разделите все уравнение на произведение времен на первом и втором участке движения. Сделав замену отношения времен, например, через x решите квадратное уравнение.

4. Найдите отношение средних скоростей по определению: средняя скорость равна отношению всего пройденного пути ко всему затраченному времени.

5. Решение опубликуйте. Уточним.

Мое решение такое (правда, я в нем сильно сомневаюсь).

Пусть T — это полное время движения,
t — время, за которое была преодолена вторая половина пути,
a — ускорение. Тогда из условия:

((at2/2) + a(T − t)t) / (aT2/2) = 0.5.

Отсюда, после нескольких преобразований, получается уравнение:

2Tt − t2 − 0.5T = 0,

имеющее два корня: t = √2 • T  и  t = (1 − 1/√2)T. Выбираем второй, так как первый не имеет физического смысла. А так как средняя скорость есть отношение пройденного пути ко времени, получим выражение искомого отношения (после сокращения на a):

(t/2 + T − t) / (T/2).

Выражая в нем t через T, получим, что отношение средней скорости на второй половине пути к средней скорости на всем пути равно √2.

Уточните, почему на втором участке:

(at2/2).

Непонятно выражение:

a(T − t)t.

Выражение a(T − t) — это начальная скорость в начале второго участка,
а a(T − t)t — это, соответственно, одно из слагаемых в уравнении для координаты при равноускоренном движении.

Для второго участка оно запишется как at2/2 + a(T − t)t.

S − весь пройденный путь, T − все время движения, t − время движения на первой половине пути, t2 − время движения на второй половине пути.

Весь пройденный путь:

S = aT2/2.

Половина пройденного пути:

S/2 = at2/2.

Тогда:

2 = (T/t)2, откуда T/t = √2.

Средняя скорость на втором участке:

S/(2t2) = S/(2(T − t))

Средняя скорость на всем пути:

S/T.

Тогда отношение средних скоростей:

T/(2(T − t)) = √2/[2(√2 − 1)] = (2 + √2)/2 = 1,7.

Можно попросить Вас объяснить последнее действие:

T / (2(T − t)) = √2 / [2(√2 − 1)] = (2 + √2) / 2 = 1,7.

Во всей задаче разобралась, только конец не понимаю...

Задача задана в гимназии № 9, класс 10, Комсомольск-на-Амуре.

Средняя скорость на втором участке:

v2 = S / (2(T − t)).

Средняя скорость на всем пути:

v = S/T.

Тогда отношение средних скоростей:

v2 / v = S / (2(T − t)) / (S/T) = T / (2(T − t)).

Так как T = t√2, то:

v2 / v = t√2 / [2(t√2 − t)] = √2 / [2(√2 − 1)] = (2 + √2) / 2 = 1,7.

Спасибо!