Какое расстояние проедет стержень? (1 декабря 2008)

Однородный стержень длиной 2 м, двигаясь вдоль своей длины по гладкой горизонтальной поверхности, начинает пересекать границу, за которой поверхность становится шероховатой с коэффициентом трения 0,2. Какое расстояние проедет стержень с этого момента до остановки, если его начальная скорость была 3 м/с? g = 10 м/с2

Источник: Глазунов А.Т. Физика. Учебник для 11 класса школ и классов с углубленным изучением физики.

Комментарии

Запишем закон сохранения энергии для стержня:

ΔЕк = Атр,

m(vк2 − vн2)/2 = −FтрS,

где vк — конечная скорость (vк = 0 м/c), S — искомое расстояние.

−mvн2/2 = −μmgS,

S = vн2/(2g) = 9/(2*10) = 0.45 м = 45 см.

Длина стержня является лишним условием.

А как насчет того, что стержень переезжает границу гладкой и шероховатой поверхности, и сила трения нарастает от нуля до максимального значения? Если энергии хватит, то стержень будет двигаться дальше по шероховатой поверхности до остановки. А у Вас получается, что стержень движется только по шероховатой поверхности.

В Вашем ошибочном решении потерян коэффициент трения в последней формуле.

В данной задаче кинетическая энергия будет равна сумме работы силы трения на границе перехода с гладкой на шероховатую поверхность и работе силы трения при дальнейшем движении по шероховатой поверхности.

Ek = Amp1 + Amp2.

Устраните ошибку и опубликуйте решение.

Исключительно из методических соображений предлагаю другой вариант решения, он посложнее, но позволяет понять глубоко саму задачу и решить ее без интегрирования.

Рассмотрим некий момент времени, когда на шероховатой части находится часть стержня длиной х. Тогда на гладкой, соответственно, L − x. Пусть масса всего стержня m, тогда масса куска длиной х равна mx/L.

Сила трения действует только на кусок x, т.к. оставшаяся часть стержня лежит на гладкой поверхности, где нет трения. Тогда Fтр = −(mx/L)gμ. Я поставил знак "минус", чтобы отразить, что сила трения направлена назад.

По второму закону Ньютона:
ma = Fтр, тогда a = −(x/L)gμ.

Это уравнение гармонических колебаний. Может показаться невероятным, но стержень будет двигаться так, что x будет изменяться по закону синуса:

x = Asin (t√(gμ/L)),
v = A√(gμ/L) * cos (t√(gμ/L)),

но в начальный момент v = u = 3 м/с, тогда:

A = u√(L/(gμ)) — амплитуда колебания, которая равна перемещению стержня.

Если окажется, что A > L, то придется рассматривать отдельно случай, когда стержень полностью залез на шероховатую поверхность и двигался уже только по ней. Если A ≤ L, то решение справедливо. Вычисляем и получаем A = 3 м. Ну что ж, нам не повезло :)

Находим скорость, когда стержень оказался полностью на шероховатой поверхности. В этот момент x = L, тогда:

sin (t√(gμ/L)) = √(Lgμ)/u
cos (t√(gμ/L)) = √(1 − (Lgμ)/u2)
V = u√(1 − (Lgμ)/u2) = √5 м/с.

С такой начальной скоростью палка проедет S = V2/(2gμ) = (u2 − (Lgμ))/(2gμ) = u2/(2gμ) − L/2.

Всего стержень проехал L + S = u2/(2gμ) + L/2 = 3,25 м.

Ответ: 3,25 м.

Задачу можно ГОРАЗДО проще решить, если проинтегрировать и найти работу на первом этапе и на втором. Выразить перемещение на втором и таким образом найти, на сколько переместилась палка. Но тогда:

  1. нет понимания, как двигалась палка.
  2. используется интегрирование, что в школьной физике не особо приветствуется.
Поэтому знать это решение стоит для развития своего, но задачу решал бы я все-таки через интегрирование.
И все-таки:

из закона сохранения энергии:

mv2/2 = (1/2)μmgl + μmgx.

Откуда расстояние, пройденное стержнем после того, как он полностью оказался на шероховатой поверхности, будет равно:

x = v2/(2μg) − (1/2)l.

Расстояние, пройденное до остановки:

L = l + x = (1/2)l + v2/(2μg),

окончательно:

L = (1/2) × 2 + 32/(2 × 0,2 × 10) = 3,25 м.

В самом первом уравнении откуда 1/2? Из интегрирования :)
Можно ее еще графически получить (считая работу как площадь треугольника)
Сила трения растет от нуля до максимального значения пропорционально массе въехавшего стержня. В этом случае усредняем силу трения:

Fcp mp = (0 + μmg)/2 = (1/2) μmg.

Нет, так не катит :)

Это плохое объяснение. Да, действительно, сила трения вначале 0, потом максимум. Но вот какой коэффициент взять из промежутка от 0 до 1, это еще вопрос. Все зависит от того, как растет сила трения. У нас — пропорционально. Но какова связь того, что растет пропорционально и что будет коэффициент 1/2? Это нужно еще обосновать. Просто "пополам, а какой другой еще брать-то?" не катит. Брать среднее арифметическое, строго говоря, верно. Как вы считаете в задачах среднюю скорость?

Вы берете весь путь и делите на все время. А тут тогда почему берете значение в начале и в конце и берете среднее. Чтобы обосновать именно 1/2, Вы либо будете считать работу как площадь треугольника, либо нужно будет интегрировать. Да, конечно, коэффициент 1/2 будет, я не спорю. Я лишь хочу подчеркнуть, что его нужно обосновать, и Ваше объяснение минимум неполное.

Почему же неполное? Коэффициент трения не зависит от площади соприкасающихся поверхностей тел и остается постоянным. А сила трения пропорциональна весу. Все в порядке, смело усредняем и выходим на конечный результат.

Точно также усредняется скорость при равноускоренном движении, так как скорость линейно изменяется со временем. Давление изменяется линейно с глубиной и т. д.

Усреднять можно, конечно, я лишь говорю, что усреднять нужно корректно. Да, для случая, когда зависимость линейная, можно брать просто среднее арифметическое. Но то, что так можно, нужно обосновать.

Вы привели пример равноускоренного движения, так кстати, в нем априори закладывают 1/2, когда пишут уравнение S = vt + at2/2.

Еще раз повторю, чтобы поставить акцент. С ответом я согласен, но нужно более подробно описать, как усреднять и почему можно брать просто среднее арифметическое при линейной зависимости.

Вся суть в том, что при корректном усреднении придется найти работу, разделить на полное перемещение и получить среднее значение силы трения. А Вы предлагаете выбрать среднее и искать работу. Получается с ног на голову, т.к. для нахождения среднего нужно еще найти работу.

Надоело разбираться?