С какой скоростью движется тень кузнечика? (26 ноября 2008)

Однажды летним утром кузнечик сидел на асфальте. Когда солнце поднялось на угол φ над горизонтом, он прыгнул в стоорону Солнца с начальной скоростью vo под углом α к горизонту. С какой скоростью движется тень кузнечика спустя время t после прыжка?

Источник: задачу продиктовал учитель, МОУ СОШ № 36, Иванова Рима Викторовна.

Комментарии

Задача понравилась, т.к. простая, но не затасканная (я не встречал похожих).

План решения такой:

1) найдите время прыжка,
2) если T меньше времени прыжка (что, вероятно, подразумевается), то легче всего решать так:
3) оси X и Y направить по направлению на солнце и перпендикулярно,
4) записать кинематические уравнения движения на эти оси (не забыть про проекции g, что они не нулевые),
5) из кинематического уравнения найти скорость в нужный момент Т в проекции на ось, перпендикулярную направлению на солнце,
6) рассмотреть связь между этой скоростью и скоростью движения по асфальту (по асфальту будет быстрее в (1/cos φ), чем просто проекция).
7) опубликовать здесь решение.

Очень странно отображаются комментарии... Вроде как моего коммента нет, а если добавить сообщение - появляется. а если обновить страницу и зайти на гравную - снова нет. Фигня какая-то.....
Должны появляться сразу. Для незарегистрированных пользователей используется кэширование на 1 час, для зарегистрированных оно автоматически отключается. Но еще есть кэширование со стороны браузера.
Огромное спасибо! Обязательно выложу решение! :-)
2) если T меньше времени прыжка (что, вероятно, подразумевается), то легче всего решать так:


иначе вопрос смысла не имеет.

4) записать кинематические уравнения движения на эти оси (не забыть про проекции g, что они не нулевые),


непонятно, зачем составлять кинематические уравнения движения, если мы выражаем скорость, связывая горизонтальную и вертикальную составляющие скорости через время t в выбранной СК на Солнце.

5) из кинематического уравнения найти скорость в нужный момент Т в проекции на ось, перпендикулярную направлению на солнце,


не будет ли это вертикальная составляющая скорости?

Бермудская тема какая-то :) Пока не напишешь хоть одно сообщение, все предыдущие не видны. По крайней мере мне. Если написать хоть 1 коммент, то все предыдущие становятся видимыми.
Вот сейчас добавил сообщение - вся история сообщений появилась :) А до этого - ни одного. Реально Бермуды :)

2) имеет. Тогда скорость 0. Полное решение должно задавать скорость как функцию T, если T меньше времени полета и скорость равна 0, если больше.
4) имеется в виду одно уравнение для скорости.
5) не будет ли это вертикальная составляющая скорости?

Если ось на солнце OY, а ей перпендикулярна OX, то это будет проекция на ось OX. Т.к ось OX не вертикальна, то это не будет вертикальная составляющая.

И еще: в плане решения ошибка у меня: нужно было написать не 1/cos φ, а 1/sin φ.

Запишем уравнение изменения координаты вдоль оси X:

x = vot cos α.

рисунок к решению

Координата конца тени будет определяться выражением:

xm = x − Δx = vot cos α − h/tg φ,


где h — высота подъема кузнечика в момент времени t:

h = vot sin α − gt2/2.

Сделав замену в уравнение координаты тени:

xm = (vocos α − vosin α/tg φ) × t + gt2/(2tg φ).


Продифференцировав уравнение координаты по времени, найдем закон изменения скорости тени кузнечика от времени:

vm = vocos α − vosin α/tg φ + (g/tg φ) × t .

рисунок

gx = g cos φ.
vox = vo cos (90° − φ + α).

В проекции на ось Х:
vx = vox + gxt = vocos (90° − φ+ α) + gt cos φ.

Скорость тени:
u = vx/sin φ = vo sin (φ − α)/sin φ + gt/tg φ.

Извините, совершенно случайно нарвался на сайт и на эту задачу тем более.

Хотел уточнить: а смещение солнца и сопротивление воздуха кузнечику в задаче учитывать нужно?

Надоело разбираться?