Найдите массу планеты (3 ноября 2008)

Звезда и планета обращаются вокруг общего неподвижного центра масс по круговым орбитам. Найдите массу планеты m, если известно, что скорость движения планеты равна V1, а скорость движения и период обращения звезды равны V2 и T соответственно.

Демонстрационный вариант (240) ЕГЭ по физике 2004 г.

Подсказка:

Примените закон всемирного тяготения для звезды и планеты, получите два уравнения. Приравняйте левые и правые части уравнений соответственно. Для связи расстояний примените второй закон Кеплера. Расстояние от звезды до центра масс свяжите с периодом и скоростью вращения звезды.

Решите совместно уравнения. Опубликуйте свое решение.

Записав уравнения, я получил:

mпл = mзв • rпл2/rзв2.

Сила гравитации звезды вызвана центростремительным ускорение a. Отсюда следует, исходя из второго закона Ньютона, расстояние от звезды до центра масс = Vзв2 • Tзв/(2π). Проверьте, пожалуйста, решение.

А как связать расстояния, применив второй закон Кеплера, я не понял.

Не согласен, что тут можно применить второй закон Кеплера. Что говорит второй закон? Что секториальная скорость для планеты постоянна. А предложено было связать радиусы и скорости для разных планет. Тут второй закон Кеплера не удастся применить. Здесь можно применить либо теорему о движении центра масс, либо вывести собственно соотношение скоростей и радиусов.
1 — планета,
2 — звезда.

Закон всемирного тяготения + 2-й закон Ньютона:

Gm1m2/(r1 + r2)2 = m1aц = m1v12/r1.     (1)

Уравнение центра масс:

m1r1 = m2r2.     (2)
2πr1 = v1T.     (3)
2πr2 = v2T.     (4)

Подставляем (3) и (4) в (2), получим:

m1v1 = m2v2.     (5)

Выражение (5) можно было бы получить и из теоремы о движении центра масс.

Выражаем из (5) m2, берем (3) и (4) и подставляем в (1). Получаем ответ:

m1 = (v1 + v2)2 • v2T/(2πG).

Да, 2-й закон Кеплера не пройдет, так как тела движутся по своим окружностям с постоянной скоростью. Удобнее решать задачу на равенстве угловых скоростей.

2πr1/(Tr1) = 2πr2/(Tr2),

или

v1/r1 = v2/r2.     (1)

C другой стороны:

Gm/(r1 + r2)2 = v22/r2.     (2)

Выражая из (1) r1 и подставляя в (2), получим:

m = (v1 + v2)2r2/G.

Учитывая связь r2 = v2T/(2π), окончательно:

m = (v1 + v2)2v2T/(2πG).