Шар скатывается по наклонной плоскости (22 октября 2008)

Шар скатывается по наклонной плоскости с углом наклона 30°. Какую скорость будет иметь центр шара относительно наклонной плоскости через 1,5 с, если его начальная скорость равна нулю?

Пособие "Самостоятельная работа по физике" (БелГУТ).

Мой ход решения стандартен: рисунок → силы → их проекции на оси → нахождение ускорения a → … Вот дальше и возникает загвоздка с коэффициентом трения μ.

Комментарии

Создайте рисунок, при этом не пренебрегайте размерами шарика.

Найдите момент внешних сил относительно точки касания плоскости и шарика.

Этот момень будет обеспечиваться только силой тяжести, т.к. остальные моменты будут равны 0.

Далее нужно найти угловое ускорение ε = M/J, где M — суммарный момент внешних сил,а J — момент инерции шара относительно оси, проходящей через точку касания плоскости (Jo = (2/5) • mr2 — относительно его центра, а по теореме Штерна J = Jo + mr2 = (7/5) • mr2).

Зная угловое ускорение ε и время, находите угловую скорость через 1,5 с: w = εt.

Зная угловую скорость, находите линейную скорость центра шара: v = wr.

Ответ: (5/7) • gt • sin α = 5,3 м/с2.

Решаем задачу с энергетических соображений. За нулевой уровень примем интересующее нас положение шарика. Потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию поступательного движения и в кинетическую энергию вращения шарика.

mgh = mv2/2 + mv2/2 = mv2,

или:

gl sin α = v2.

Учтем, что l = at2/2, а ускорение центра шарка равно a = g sin α.

Выразим искомую скорость центра шарика:

v = (0,7) gt • sin α = 5,3 м/с.

В таком решении, как справедливо заметил inkerman, ускорение нельзя определить предложенным способом, а кинетическая энергия также будет отличаться от приведенной. В итоге имеем пример наложения двух ошибок, а в результате "правильный" ответ.

Хороший прием, который можно регулярно использовать в своей работе, создать физическую ошибку, с очень продуктивной дискуссией и обогащением всех участвующих сторон.

И все таки:

mgh = mv2/2 + Jw2/2,

где J = (2/5) mR2 − момент инерции шара,

w = v/R − связь линейной и угловой скорости, h = lsin α, l = at2/2 − так как движение просходит под действием постоянной силы, то движение равноускоренное.

После подстановки

g (at2/2) sin α = (7/5) v2.

Учтем, что a = v/t, после замены, имеем

v = (5/7) gt sin α.

И здесь приходится признать, что энергетический метод более громоздкий.

а если действует трение?
Найдите момент внешних сил относительно точки касания плоскости и шарика.

Относительно точки касания шарика момент силы трения будет равен нулю.

помогите решить!

Шар скатывается с наклонной плоскости длиной 7 м и углом наклона 30°. Определить скорость шара в конце наклонной плоскости. Трением пренебречь.

Выше смотрите два решения, выбирайте любое.
В этой задаче трения нет, а есть идеальное сцепление (без потерь энергии), благодаря которому и нашли связь между линейной и угловой скоростями. В принципе, можно рассматривать и другую задачу, с трением качения. Оно обусловлено упругими деформациями шара и плоскости. Там есть и момент, и потери энергии.
Надоело разбираться?