Астрофизический портал | |
|
Шары сталкиваются и поднимаются вместе (18 сентября 2008)
ded - 18 сентября, 2008 - 23:05
Два шара массой m и 3m подвешены рядом. Меньший шар поднимаем так, что его шнур образует угол 60° с перпендикуляром и отпускаем его. Шар ударяется во второй шар, и они поднимаются совместно, касаясь друг друга. Чему равен угол подъема?
Задача из израильского учебника: «Механика», Давид Зингер.
- версия для печати
- Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии
Комментарии
По закону сохранения энергии:
mg(l − l sin α) = mv2/2,
mv = m√(2gl(1 − sin α)).
По закону сохранения импульса:
mv = (m + 3m)u,
4mu = m√(2gl(1 − sin α)),
4mu2/2 = 2m2gl(1 − sin α)/8m = mgl(1 − sin α)/4.
Опять же, по закону сохранения энергии,
4
mgl(1 − sin β) = 4mu2/2 =mgl(1 − sin α)/4,1 − sin β = (1 − sin α)/16,
sin β = (15 + sin α)/16.
Здесь α и β — углы к вертикали.
По закону сохранения энергии:
mg(l ? l cos ?) = mv2/2,
mv = m?(2gl(1 ? cos ?)).
По закону сохранения импульса:
mv = (m + 3m)u,
4mu = m?(2gl(1 ? cos ?)),
4mu2/2 = 2m2gl(1 ? cos ?)/8m = mgl(1 ? cos ?)/4.
Опять же, по закону сохранения энергии,
4mgl(1 ? cos ?) = 4mu2/2 = mgl(1 ? cos ?)/4,
1 ? cos ? = (1 ? cos ?)/16,
sin ? = (15 + cos ?)/16.
Здесь ? и ? — углы к вертикали.
Пусть ? и ? — углы к вертикали ДО и ПОСЛЕ столкновения соответственно.
l — длина шнура, V — скорость шара перед столкновением.
По закону сохранения энергии:
mgl(1 − cos ?) = mV2/2.
Отсюда: V2 = 2gl(1 − cos ?).
По закону сохранения импульса:
mV = (m + 3m)U = 4mU.
Отсюда: V = 4U, U = V/4,
снова по закону сохранения энергии:
4mu2/2 = 4mgl(1 − cos ?).
Отсюда: u2 = 2gl(1 − cos ?) и U2 = V2/16,
V2/16 = 2gl(1 − cos?),
2gl(1 − cos ?)/16 = 2gl(1 − cos ?),
(1 − cos ?)/16 = 1 − cos ?,
15 + cos ? = 16cos ? и
cos ? = (15 + cos ?)/16.
P.S. Пока писал, появилось еще одно решение, правда, снова с ошибкой.
После соударения U = v/4.
КПД процесса:
η = [4mU2/2]/[mv2/2] = 1/4.
Следовательно,
ηmgl(1 − cos α) = 4mgl(1 − cos β).
Тогда, после преобразований:
cos β = (15 + cos α)/16.
Примечание.
Задача усложнится, если удар считать упругим. Если смелости хватит, можете опубликовать решение.