Шары сталкиваются и поднимаются вместе (18 сентября 2008)

Два шара массой m и 3m подвешены рядом. Меньший шар поднимаем так, что его шнур образует угол 60° с перпендикуляром и отпускаем его. Шар ударяется во второй шар, и они поднимаются совместно, касаясь друг друга. Чему равен угол подъема?

Задача из израильского учебника: «Механика», Давид Зингер.

Комментарии

Задача должна решаться с использованием законов сохранения энергии и импульса. Попробуйте.
А что пробовать? Мне как будто не хватает данных. Например, длины шнура.
Не знаю, чего Вам не хватает, а по мне...

По закону сохранения энергии:
mg(l − l sin α) = mv2/2,
mv = m√(2gl(1 − sin α)).

По закону сохранения импульса:
mv = (m + 3m)u,
4mu = m√(2gl(1 − sin α)),
4mu2/2 = 2m2gl(1 − sin α)/8m = mgl(1 − sin α)/4.

Опять же, по закону сохранения энергии,
4mgl(1 − sin β) = 4mu2/2 = mgl(1 − sin α)/4,
1 − sin β = (1 − sin α)/16,
sin β = (15 + sin α)/16.

Здесь α и β — углы к вертикали.

Замечание: в качестве начального уровня выбрано нижнее положение шаров до начала столкновения. Высота подъема шара массой m будет равна h = l − lcos α. Устраните ошибку.
Точно, перепутал!

По закону сохранения энергии:
mg(l ? l cos ?) = mv2/2,
mv = m?(2gl(1 ? cos ?)).

По закону сохранения импульса:
mv = (m + 3m)u,
4mu = m?(2gl(1 ? cos ?)),
4mu2/2 = 2m2gl(1 ? cos ?)/8m = mgl(1 ? cos ?)/4.

Опять же, по закону сохранения энергии,
4mgl(1 ? cos ?) = 4mu2/2 = mgl(1 ? cos ?)/4,
1 ? cos ? = (1 ? cos ?)/16,
sin ? = (15 + cos ?)/16.

Здесь ? и ? — углы к вертикали.

Огромное спасибо. Попробую написать решение, может, еще кому-то понадобится.

Пусть ? и ? — углы к вертикали ДО и ПОСЛЕ столкновения соответственно.
l — длина шнура, V — скорость шара перед столкновением.

По закону сохранения энергии:
mgl(1 − cos ?) = mV2/2.

Отсюда: V2 = 2gl(1 − cos ?).

По закону сохранения импульса:
mV = (m + 3m)U = 4mU.

Отсюда: V = 4U, U = V/4,
снова по закону сохранения энергии:
4mu2/2 = 4mgl(1 − cos ?).

Отсюда: u2 = 2gl(1 − cos ?) и U2 = V2/16,
V2/16 = 2gl(1 − cos?),
2gl(1 − cos ?)/16 = 2gl(1 − cos ?),
(1 − cos ?)/16 = 1 − cos ?,
15 + cos ? = 16cos ? и
cos ? = (15 + cos ?)/16.

P.S. Пока писал, появилось еще одно решение, правда, снова с ошибкой.

Для размышления:

После соударения U = v/4.

КПД процесса:

η = [4mU2/2]/[mv2/2] = 1/4.

Следовательно,

ηmgl(1 − cos α) = 4mgl(1 − cos β).

Тогда, после преобразований:

cos β = (15 + cos α)/16.

Примечание.

Задача усложнится, если удар считать упругим. Если смелости хватит, можете опубликовать решение.

В своем решении alex_rodin совершил ошибку. Не sin ? = (15 + cos ?)/16, а cos ? = (15 + cos ?)/16. Отличная задача.
Объясните мне, пожалуйста, запись h = l − lcos α, а то у меня плохо с геометрией.
Надоело разбираться?