Динамика вращательного движения (15 апреля 2008)

Я решал одну задачу и для ее решения нужно решить следующую подзадачу.

Есть обруч (вся масса сосредоточена в ободе и известна), он ставится на наклонную плоскость с известным углом наклона (если понадобится, есть и радиус). Обруч скатывается без проскальзывания. Нужно найти силу трения (покоя), действующую между обручем и плоскостью. Если чего-то не будет хватать, можете ввести сами.

Подсказка: посмотрите внизу на college.ru/physics/courses/op25part1/content/chapter1/section/paragraph23/theory.html (ссылка нерабочая — примечание afportal от 2.02.2016)
Составим уравнение равновесия по нормали к наклонной плоскости и два уравнения движения: вдоль наклонной плоскости и вращения. Равновесие:

N = mg cos α,

где N — реакция плоскости.

Движение по наклонной:

ma = mg sin α − μN,

где μN — сила сцепления, μ — коэффициент трения, который мы ищем.

Вращение:

Jβ = μNR,

где J = mR2 — момент инерции обруча, R — его радиус, β = a/R — угловое ускорение, а — линейное ускорение центра обруча.

Первые два уравнения (равновесия по нормали и поступательного движения вдоль плоскости) совместно дают:

ma = mg sin α − μmg cos α,

а уравнение вращения дает:

mR2a / R = μmg (cos α) R.

После упрощения:

a / g = sin α − μ cos α,

а также: a / g = μ cos α.

Эти два уравнения позволяют исключить ускорение:

μ cos α = sin α − μ cos α, или

μ = (tg α) / 2.

Обратите внимание: для удерживания груза на наклонной плоскости нужен коэффициент трения, равный тангенсу угла наклона, а для сцепления обруча хватит и половины этой величины. Коэффициент трения покоя должен быть не меньше того, что мы получили. И еще: если не вся масса сосредоточена по периферии (не обруч, а, допустим, цилиндр), то требования к сцеплению менее жесткие, можно обойтись меньшим трением.