Найти массу корабля без груза (31 марта 2016)

При плавании порожней рыболовной шхуны в одном из морей ватерлиния (уровень максимального погружения шхуны) находится на высоте hn = 0,5 м от поверхности воды, а в другом (более соленом) — на высоте hc = 0,6 м. При этом максимальная загрузка рыбой в первом море составляет mn = 50 тонн, а во втором — mc = 63 т. Найдите массу mo корабля без груза. Борта корабля в рассматриваемом диапазоне погружений можно считать вертикальными.

Источник: городская олимпиада по физике 2006 года в Бобруйске за 10-й класс, задача № 2.

«Официальное» решение с сайта fizportal.ru/podgotovka-4-2 такое.

Обозначим площадь горизонтального поперечного сечения шхуны через S (поскольку борта шхуны считаются вертикальными, S постоянно для всех случаев), плотность менее соленой воды через ρn, более соленой — через ρc.

Тогда в менее соленой воде:

mn = ρnShn,

в более соленой:

mc = ρcShc.

Сразу же получаем:

ρcn = (mc/mn) (hn/hc) = 1,26 / 1,2 = 1,05.

Далее, обозначив через Vn объем воды, вытесняемой порожним судном в менее соленом море, а через Vc — в более соленом, получим:

mo = ρnVn,

mo = ρcVc,

Vc / Vn = ρn / ρc,

Vc − Vn = S (hc − hn) = Shc − Shn = mcc − mnn.

После преобразований имеем:

mo = (mc − 1,05mn) / (1,05 − 1) = 210 т.

Не совсем понятно:

1) почему справедливы следующие уравнения:

в менее соленой воде mn = ?nShn, в более соленой mc = ?cShc.

В них не учитывается масса шхуны, то есть при максимальной загрузке глубина погружения как раз соответствует ватерлинии. А при максимальной загрузке общая масса — это масса шхуны + масса груза.

2) Далее в официальном решении:

обозначив через Vn объем воды, вытесняемой порожним судном в менее соленом море, а через Vc — в более соленом, получим:

mo = ?nVn,

mo = ?cVc,

Vc / Vn = ?n / ?c,

Vc − Vn = S (hc ? hn).

Почему для незагруженной (порожней) шхуны объемы погруженной в воду части определяются опять же ватерлиниями?


По идее, исходные уравнения должны быть такими (после сокращения на g):

mo + mn = ?nShn,

mo + mc = ?cShc,

mo = ?nSh1n,

mo = ?cSh1c,

где h1 — это соответствующие глубины погружения для порожней шхуны,

h1n < hn,   h1c < hc. Откуда не так просто найти mo...

Удалось разобраться, данные в условии высоты — это не от дна шхуны до ватерлинии, а от поверхности воды до ватерлинии. Спасибо!)
"Официальное решение" правильное, но составлено оно безобразно, поэтому и возникают трудности с его пониманием — и не только у Вас. Начинается оно с двух уравнений, которые являются следствием других уравнений, отсутствующих в решении, а не следствием физических законов. В середине решения подставляются числа, что не позволяет увидеть конечную формулу, связывающую искомый параметр с исходными данными.

Теперь по делу. Будем пользоваться теми обозначениями, которые уже есть, и добавим еще одно, H — высота ватерлинии над дном шхуны. В задаче есть четыре условия:
a) осадка порожней шхуны в пресной (или менее соленой) воде,
b) осадка порожней шхуны в соленой воде,
c) максимально разрешенная загрузка (т.е. есть загрузка с осадкой по ватерлинию) в пресной воде, и
d) максимально разрешенная загрузка в соленой воде.

Эти четыре условия приводят к четырем уравнениям статического равновесия, давайте их составим.

1)   mo = ρnS (H − hn).

2)   mo = ρcS (H − hc).

3)   mo + mn = ρnSH.

4)   mo + mc = ρcSH.

Неизвестных пять: это плотности пресной и соленой воды, ρn и ρc, площадь S горизонтального сечения шхуны, масса mo порожней шхуны и расстояние H между дном и ватерлинией. Однако обе плотности входят в уравнения только в виде произведений плотности и площади сечения S, поэтому удобно ввести два новых обозначения, Kn = ρnS   и   Kc = ρcS. Перепишем все четыре уравнения с этими новыми обозначениями:

5)   mo = Kn(H − hn).

6)   mo = Kc(H − hc).

7)   mo + mn = KnH.

8)   mo + mc = KcH.

Теперь неизвестных тоже четыре: это два новых параметра Kn и Kc, масса порожней шхуны mo и высота H от дна до ватерлинии. Собственно, на этом физика заканчивается, осталось чуть-чуть алгебры. В уравнениях 5, 6 раскроем скобки:

9)   mo = KnH − Knhn.

10)   mo = KcH − Kchc.

Произведения KnH   и   KcH, которые появляются в уравнениях 9 и 10, можно взять из уравнений 7 и 8. Тогда уравнения 9 и 10 пробретают вид:

11)   mo = mo + mn − Knhn.

12)   mo = mo + mc − Kchc.

А после упрощений:

13)   mn = Knhn.

14)   mc = Kchc.

Решаем эти уравнения:

15)   Kn = mn / hn.

16)   Kc = mc / hc.

Теперь решения 15 и 16 подставляем в уравнения 9 и 10, получаем:

17)   mo = mnH / hn − mn.

18)   mo = mcH / hc − mc.

Это система двух линейных уравнений с неизвестными mo и H. Поскольку равны левые части двух последних уравнений, то равны и правые части. Получаем новое уравнение с единственным неизвестным H — расстоянием между дном и ватерлинией.

19)   mn(H − hn) / hn = mc(H − hc) / hc.

Решим его и найдем высоту H:

20)   H = (mc − mn) hnhc / (hn mc − hcmn).

Подставляем это решение в любое из уравнений 17 или 18 и получаем массу порожней шхуны:

21)   mo = mnmc(hc − hn) / (hn mc − hcmn).

Подставляем числа и получаем массу порожней шхуны mo = 210 тонн.

Полученная формула позволяет понять, при каких данных решение существует, а при каких — нет. Числитель дроби в решении всегда положителен: осадка в соленой воде меньше, чем в пресной.

22)   hc > hn,

а значит и знаменатель должен быть положителен тоже. Приближаться к нулю знаменателю, понятное дело, нельзя, иначе масса mo станет неограниченной. Условие существования решения:

23)   hn mc − hc mn > 0.

Его можно преобразовать к виду:

24)   mc / mn > hc / hn.

Объединяем неравенства 22 и 24, и условие существования решения (то есть совместимости исходных данных) принимает окончательный вид:

25)   mc / mn > hc / hn > 1.

Для тех данных, которые приведены в условии задачи, решение существует:

mc / mn = 63 / 50 = 1.26   и   hc / hn = 60 / 50 = 1.2.

И Вам спасибо!)