Найти массу катушки (28 февраля 2016)

рисунок к задачеЛёгкий провод намотан на цилиндрическую катушку, которая надета на горизонтальный стержень (см. рисунок). Для того чтобы катушка равномерно вращалась на стержне, необходимо тянуть за конец провода вертикально вниз с силой F1 или горизонтально, вдоль касательной к нижнему краю катушки, с силой F2. Какова масса m катушки?

Источник: Всеросс. олимпиада-2014, финал, 10. Взято с сайта mathus.ru/phys/vratela.pdf

Ответ:
ответ к задаче

Георгий, здравствуйте. В этой задаче проведены два эксперимента: с вертикальной силой F1 и с горизонтальной силой F2. В каждом случае можно составить по три уравнения "статического" равновесия: два уравнения сил и уравнение моментов. Всего уравнений шесть. Введем обозначения N1 и N2 — это нормальные реакции стержня в радиальном направлении, приложенные в точке контакта стержня с цилиндром (в первом и втором экспериментах соответственно), а T1 и T2 — соответствующие им касательные силы трения.

В первом эксперименте присутствуют силы N1, T1, F1, а во втором — N2, T2, F2 и в обоих случаях сила тяжести mg. Нам понадобится угол между вертикальным радиусом цилиндра и радиусом, проведенным из центра цилиндра в точку контакта. Пусть в первом эксперименте этот угол будет α, а во втором — β. Неизвестных, правда, семь. Это две нормальные реакции, два угла, отношение внутреннего радиуса цилиндра к внешнему k = r/R, масса цилиндра m и коэффициент трения скольжения μ между внешней поверхностью стержня и внутренней поверхностью цилиндра. Но задачу решить можно. В том смысле, что все параметры не найти, но можно найти массу, а спрашивают только массу. Вычислить коэффициент трения и отношение радиусов не представляется возможным.


Эксперимент 1. Действующих сил четыре. Это нормальная реакция N1, сила трения T1, сила тяжести mg и внешняя вертикальная сила F1.

Равновесие сил по горизонтали:

N1sin α = T1cos α, или

N1sin α = μN1cos α.

Отсюда находим tg α = μ,   а также cos α = 1 / √(1 + μ2),   sin α = μ / √(1 + μ2).

Равновесие сил по вертикали:

F1 + mg = N1cos α + T1sin α, или

F1 + mg = N1cos α + μN1sin α, или

F1 + mg = N1(1 + μ2) / √(1 + μ2), или

F1 + mg = N1√(1 + μ2).

Уравнение моментов будем составлять относительно центра цилиндра. Сила тяжести и нормальная реакция моментов не дают: у них нулевые плечи. Остаются сила трения T1 = μN1 и внешняя сила F1. Получаем уравнение моментов:

F1R = μN1r.

Введем обозначение для отношения внутреннего радиуса цилиндра к внешнему: k = r / R. Уравнение моментов становится F1 = μN1k.

Можно разделить это уравнение на уравнение равновесия сил по вертикали, это позволит исключить нормальную реакцию N1. Получаем:

F1 / (F1 + mg) = μk / √(1 + μ2). Это итоговое уравнение первого эксперимента.


Эксперимент 2. Действующих сил снова четыре. Это нормальная реакция N2, сила трения T2, сила тяжести mg и внешняя горизонтальная сила F2.

Равновесие сил по горизонтали:

N2sin β = T2cos β + F2, или

N2sin β = μN2cos β + F2, или

N2 (sin β − μ cos β) = F2.

Равновесие сил по вертикали:

N2cos β + T2sin β = mg, или

N2cos β + μN2sin β = mg,

или N2 (cos β + μsin β) = mg.

Уравнение моментов:

T2r = F2R, или

μN2k = F2,

где k = r / R.

А теперь уравнение сил по горизонтали разделим на уравнение сил по вертикали. Уравнение сил по горизонтали также разделим на уравнение моментов. Вместо трех уравнений мы получим два, но зато будет исключена нормальная реакция N2:

(sin β − μcos β) / (cos β + μsin β) = F2 / (mg).

sin β − μcos β = μk.

В левой части первого из этих двух уравнений разделим числитель и знаменатель на cos β, получаем:

(tg β − μ) / (1 + μtg β) = F2 / (mg).

Отсюда следует:

(tg β − μ) mg = (1 + μtg β) F2, и далее

tg β (mg − μF2) = F2 + μmg, и далее

tg β = (F2 + μmg) / (mg − μF2).

Нам понадобятся синус и косинус этого угла:

cos β = (mg − μF2) / √[(mg − μF2)2 + (F2 + μ mg)2].

sin β = (F2 + μmg) / √[(mg − μF2)2 + (F2 + μmg)2].

Теперь вернемся к уравнению sin β − μcos β = μk и подставим в него значения cos β и sin β, которые мы только что нашли:

(F2 + μmg − μmg + μ2F2) / √[(mg − μF2)2 + (F2 + μmg)2] = μk, или

F2(1 + μ2) / √[(mg − μF2)2 + (F2 + μmg)2] = μk.

Раскроем скобки в знаменателе:

F2(1 + μ2) / √(m2g2 − 2mgμF2 + μ2F22 + F22 + 2mgμF2 + μ2m2g2) = μk, или

F2(1 + μ2) / √(m2g2 + μ2F22 + F22 + μ2m2g2) = μk, или

F2(1 + μ2) / √[(m2g2 + F22) (1 + μ2)] = μk, или окончательно

F2√(1 + μ2) / √(m2g2 + F22) = μk.

Это итоговое уравнение второго эксперимента. Мы перепишем его в таком виде:

F2 / √(m2g2 + F22) = μk / √(1 + μ2)

и будем решать совместно с итоговым уравнением первого эксперимента. Итак, имеем два уравнения:

F1 / (F1 + mg) = μk / √(1 + μ2)

F2 / √(m2g2 + F22) = μk / √(1 + μ2).

Поскольку в этих двух уравнениях равны правые части, то равны и левые части. Из двух уравнений мы получаем одно, но зато оно не содержит неизвестные нам отношение внутреннего и внешнего радиусов k и коэффициент трения μ.

F1 / (F1 + mg) = F2 / √(m2g2 + F22).

или, что то же самое,

F1√(m2g2 + F22) = (F1 + mg) F2.

Возводим это уравнение в квадрат:

F12(m2g2 + F22) = (F1 + mg)2F22, или

F12m2g2 + F12F22 = F12F22 + 2 F1F22mg + F22m2g2, или

F12m2g2 = 2 F1F22mg + F22m2g2.

Предполагаем, что масса цилиндра нулевой быть не может, тогда:

F12mg = 2F1F22 + F22mg, или

mg (F12 − F22) = 2F1F22, или

mg = 2F1F22 / (F12 − F22).

Как уже отмечалось, выяснить отношение радиусов k и коэффициент трения μ невозможно. В системе, описываемой тремя неизвестными параметрами (m, k, μ), заданы только два условия (F1 и F2), поэтому и выловить можно только две характеристики системы. Одну из них - массу цилиндра - мы уже нашли. А вторая характеристика - это некоторая комбинация отношения внутреннего и внешнего радиусов k и коэффициента трения μ. Подставляя найденное значение массы в любое из двух итоговых уравнений (либо первого эксперимента, либо второго), получаем:

kμ / √(1 + μ2) = (F12 − F22) / (F12 + F22).