На каком расстоянии от точки пересечения находится второе тело? (16 августа 2015)

Два тела движутся с постоянными скоростями по взаимно перпендикулярным прямым. Скорость первого тела v1 = 3 м/с, второго v2 = 4 м/с. В момент времени, когда расстояние между телами наименьшее, первое тело находится на расстоянии s1 = 60 м от точки пересечения прямых. На каком расстоянии s2 от точки пересечения прямых находится в этот момент второе тело?

Источник: Чернышев. Задания по физике.

Воспользуемся координатным методом. Координата первого тела:

(−s1 + v1t;   0),

второго:

(0;   s2 − v2t).

Расстояние между телами:

s2 = (−s1 + v1t)2 + (s2 − v2t)2.

Минимальным это расстояние будет при выполнении условия равенства производной нулю.

Производная:

s/ = 2 (v12 + v22)t − 2(s1v1 + s2v2).

Из условия s/ = 0 (условие экстремума) получаем:

t = (s1v1 + s2v2) / (v12 + v22) — момент времени, когда расстояние между телами минимально.

Далее находим расстояние s2.