Модуль средней скорости движения (11 апреля 2008)

Некоторое тело последовательно совершило два перемещения со скоростями v1 и v2. Первое перемещение направлено под углом φ1 к некоторому выбранному направлению, второе − под углом φ2. Известно, что модуль первого перемещения в n раз меньше модуля второго. Вычислите модуль средней скорости движения (лучше начать с рисунка).

Задача из банка задач ТПУ.

Подсказка: воспользуйтесь теоремой косинусов для нахождения модуля вектора перещения тела. Через отношение перемещений на участках свяжите времена движения на этих участках. По определению средней скорости, найдите среднюю скорость перемещения, заменив время через, например, время t1. Решите и опубликуйте решение.
Второе перемещение направлено под углом φ2 относительно первого перемещения или того же выбранного направления?
Под углом φ2 к выбранному направлению.
к задаче

По определению, vср = S / t.

Найдём сначала t:

t = t1 + t2 = S1/v1 + S2/v2, но, по условию задачи, S2 = S1n, значит, t = S1/v1 + S1n/v2 = S1 (v2 + v1n) / (v1v2).

А теперь найдём S.

Пусть угол BAC = α тогда, так как прямые AE || BC при секущей AC, то углы CAE = DCF = ?1 − α.

Так AD пересекает BF, то углы DCF = ACB = ?1 − α.

Значит, угол ABC = 180° − BAC − ACB = 180° − α − ?1 + α = 180° − ?1.

Теперь выразим угол ABD = 180° − ?1 + ?2.

По теореме косинусов, S2 = S12 + S22 − 2S1S2 cos (180° − ?1 + ?2), но, так как S2 = S1n, то S = √(S12 + S12n2 − 2S12n cos (180° − ?1 + ?2)), или S = S1√(1 + n2 − 2n cos (180° − ?1 + ?2)).

Значит, vср = [S1√(1 + n2 − 2n cos (180° − ?1 + ?2))] / [S1 (v2 + v1n) / (v1v2)] = [v1v2 √(1 + n2 − 2n cos (180° − ?1 + ?2))] / (v2 + v1n).