Какую скорость должна иметь частица на бесконечности? (22 октября 2014)

Два заряда 2q и −q закреплены и находятся на расстоянии l друг от друга. Из бесконечности со стороны заряда −q вдоль линии соединяющей заряды, летит частица массы m и зарядом q. Какую скорость должна иметь частица на бесконечности, чтобы она долетела до заряда −q?

Задание из школы.

На линии зарядов нужно найти точку, где сила отталкивания сравняется с силой притяжения. После этой точки заряд сможет двигаться даже с нулевой начальной скоростью. Следовательно, достаточно определить начальную минимальную скорость, чтобы заряд q долетел до этой точки, а не до заряда −q.
Сначала найдем точку, в которой силы, действующие на частицу со стороны двух зарядов, равны.

Пусть расстояние от заряда −q до этой точки x.

Тогда по закону Кулона:

F−q,q = kq2 / x2.

F2q,q = 2kq2 / (l + x)2.

Приравняем силы:

1 / x2 = 2 / (l + x)2,

x2 − 2lx − l2 = 0.

Решив это квадратное уравнение, получим два корня:

x = l (1 ± √2).

Так как расстояние может быть только положительным числом, то берем положительный корень.

Затем по второму закону Ньютона можем найти ускорение, действующее на частицу, зависящее от расстояния r между зарядом −q и частицей.

2kq2/ (l + x)2 − kq2/ x2 = ma.

a = kq2 / [m (2 / (l + r)2 − 1 / r2)].

В итоге имеем выражение для скорости:

v = ∫−∞x adr = kq2 / [m • ∫−∞x (2 / (l + r)2 − 1 / r2) dr].

Проинтегрировав, получим:

v = kq2 / [l (√2 + 1)2].

Не могу согласиться с выражением для скорости. Ведь ускорение — это производная от скорости по времени. Соответственно,

v (t) = ∫tot adt + vo.

Кроме того, единица измерения скорости по Вашей формуле Н • м, а не м/с.

Ввиду этого считаю, что вторую часть задачи следует решать через закон сохранения энергии.

Спасибо большое