С какой скоростью должен бежать мальчик, чтобы минимально намочить голову? (9 августа 2013)

к задачеМальчик, который находится в точке А, в снежную погоду бежит в точку В. Скорость снежинок V, направление вектора скорости параллельно плоскости, проходящей через отрезок АВ и образует с этим отрезком угол в α градусов. С какой скоростью должен бежать мальчик, чтобы минимально намочить голову?

Источник: последний тур грузинской олимпиады, 9 кл. (перевод).

Ответ: V / cos α.

Помогите, пожалуйста, очень интересно решение.

Комментарии

Я бы предположил: v = V sin α.
В принципе, я получил, что vx2 − 2vxv cos α + v2   (где vx — необходимая скорость) должно быть минимально, но слабость в математике не позволяет мне найти минимум функции (для этого ведь нужно найти производную, но пока что я этого не проходил), да и этот метод вроде слишком громоздкий...
Спасибо, но... Ваш ответ не совпадает с верным)
Проекция скорости мальчика на направление вектора V должна равняться V. В этом случае относительная скорость снега относительно мальчика минимальна.
Если разложить вектор скорости снежинок на вертикальную и горизонтальную составляющие, то, чтобы свести к минимуму падение снежинок за счет сноса в горизонтальном направлении, мальчик должен бежать с горизонтальной скоростью снежинок, тогда относительная горизонтальная скорость равна нулю.
То есть, со скоростью V cos α ? Я именно так и рассуждал, но, получив неверный ответ, вывел это свое уравнение, что, в принципе, одно и тоже — опять получаю V cos α. Неужели ответ к задаче неправильный?
Ой, извините, ерунду написал. Правильно, по-видимому, так.

Понятно, что количество снега, попавшего в голову, пропорционально относительной скорости снега и времени движения. Поэтому кол-во снега = N = αvотнt. Очевидно, t = AB / u.

Теперь ясно, что исследовать на минимум надо выражение vотн / u. Проще исследовать его квадрат (v2 − (2uv cos α) + u2) / u2. Взяв производную и приравняв её к нулю, найдём правильный ответ: u = v / cos α. Это будет минимум.

Вы абсолютно правы! Огромное спасибо! Вы себе даже не представляете, как обрадовали меня))
Пожалуйста :)
Совершенно необязательно возиться с производной.

Суть задачи в минимизации Vотн/u = (Vu) / u = V/u − u/u.

Можно нарисовать эту векторную разность:

рисунок к решению

Синий вектор имеет фиксированную длину и направление, у красного можем менять длину за счет u.

Разность (черный вектор) минимальна, если ее вектор перпендикулярен красному.

рисунок к решению

А здесь и до ответа недалеко.

Таки на картинках — ляпсус, извиняюсь. Если вести речь о вышеупомянутой разности, то черный вектор должен глядеть в противоположную сторону. Но сути это не меняет.
Большое спасибо, действительно намного упростили решение! :)

Хотя, т.к. получилась парабола, вычислить ее минимум ничего не стоит... производная совсем не нужна)

текст с формулами
Не пойму. Ведь можно упростить эту функцию, разделив на знаменатель:

v2/u2 − 2v (cos α)/u + 1   — это ведь тоже парабола.

vo = −b/(2a) = u cos α   ⇒   u = v/cos α.

v2/u2 − 2v (cos ?)/u + 1 является параболической функцией по аргументу v.

Но! по условию задачи v — не переменная, а зафиксированный параметр (скорость дождя).

Переменной величиной, по которой надо минимизировать данную функцию, является u — скорость мальчика.

Производная должна браться по u.

По данному аргументу (u) исследуемая функция — сумма гипербол второго и первого порядка (плюс константа).


Хотя, конечно, в данном конкретном случае можно обозвать отношение (v/u) новой переменной и минимизировать функцию именно по ней.

Тогда да — здесь парабола.

Ага, вот теперь все ясно. Большое спасибо за помощь и внимание! :)
Ну, видимо, так рассуждаем: раз есть вектор, то будут и проекции на ось, очевидно, так:

v = v sin α,

также есть условие, мальчик должен минимально намочить голову, а это значит, что проекция v sin α должна быть тоже минимальной, а минииальной она будет, когда скорость снежинок будет минимальна.

Минимальной должна быть горизонтальная составляющая скорости пылинок, равная v cos α, раз уж так.
Надоело разбираться?