Какова скорость течения реки? (23 июля 2013)

Рыбак плывет вверх по реке. Проезжая под мостом, он уронил в воду запасное весло. Через час он обнаружил потерю и, повернув назад, догнал весло в 6 км ниже моста. Какова скорость течения реки, если рыбак все время греб одинаково?

Источник: задача 1.6 по равномерному движению.


Прошу помощи с задачей. Мне не нужно решение, а только небольшая наводка (или, быть может, я вообще не тем путем иду).

МОЕ РЕШЕНИЕ.

к решению

Пусть расстояние, пройденное веслом (от М до B), равно S1 = 6 км.

L — расстояние, которое прошел рыбак от момента, когда он повернул обратно, до момента, когда он догнал весло.

τ — время, за которое рыбак проплыл расстояние L − S1 = 1 ч.

U — скорость течения реки (соответственно, скорость весла).

V1 — скорость рыбака против течения, равная V − U.

V2 — скорость рыбка по течению, равная V + U.

V — собственная скорость рыбака (по условию она неизменна).

Рыбак прошел против течения L − S1 = L − 6 за 1 ч cо скоростью V − U, тогда L − 6 = (V − U) • 1.

Пусть L рыбак прошел по течению за время t со скоростью V + U, но так как он гнался за веслом, то его скорость равна V + U − U = V,   ⇒   L = Vt.

Теперь разберемся с веслом. Оно прошло 6 км за время, пока рыбак проплыл L − S1 и + время, которое рыбак его догонял, ⇒   6 = U (t + 1).

Таким образом, я имею систему 3-х уравнений:

6 = U (t + 1).

L − 6 = V − U.

L = Vt.

И теперь мне нужно еще одно уравнение для решения системы (если я не ошибаюсь).

В том-то все и дело, задачу так не решить, число неизвестных больше числа уравнений. Перейдите в систему отсчета, связанную с водой (остановите течение). В этой системе отсчета время движения относительно покоящегося на месте весла туда и обратно одинаковое, т.е. 1 ч + 1 ч = 2 ч. За это время весло проплыло по течению 6 км.
Черт, все оказалось так просто. Т. е., так как в классической механике время абсолютно, то и в СО "рыбак-берег" рыбак тоже проплыл 2 часа, прежде чем догнал весло, ну и, соответственно, весло проплыло 6 км за 2 часа. Тогда скорость течения равна 3 км/ч.

Спасибо большое! :)

Выкладывать решение столь банальной задачи?

Конечно, работать лучше в системе отсчета, движущейся вместе с течением реки, и тогда решение получается красивым и элегантным. Но даже если просто тупо составлять уравнения в неподвижной системе отсчета, то решить задачу тоже можно. При условии, что уравнения составлены правильно. Я буду пользоваться теми же обозначениями, которые уже есть, и добавлю еще одно, to = 1 час — это время, которое рыбак плыл против течения. Первые два уравнения я просто переписываю — они правильные.

U (t + to) = S1.

(V ? U) to = L − S1.

В логике третьего уравнения — ошибка. Утверждение типа "Пусть L рыбак прошел по течению за время t со скоростью V + U, но так как он гнался за веслом, то его скорость равна V + U ? U = V, ? L = Vt" совершенно непонятно. Что значит "но так как он гнался за веслом"? Уж если Вы работаете в неподвижной системе отсчета, то составляйте в ней все уравнения. Скорость вниз по течению равна V + U, и третье уравнение имеет вид

(V + U) t = L.

Теперь рассмотрим систему уравнений: действительно, уравнений три, а неизвестных четыре: V, U, t и L. Четвертого уравнения не существует в природе: все условия уже записаны. Но! От Вас не требуют найти все четыре неизвестных. Сложим первые два уравнения и вычтем из них третье:

U (t + to) + (V ? U) to − (V + U) t = 0.

Раскроем все скобки: Ut + Uto + Vto − U to − Vt − Ut = 0, или

Vto = Vt, или

to = t.

Время в пути в каждую сторону одинаково, 1 час. Если это значение подставить в первое уравнение, получаем:

U = S1 / (t + to) = 3 км/час.

Итак, мы нашли два неизвестных из четырех: время t = 1 вниз по течению и скорость течения U = 3 км/час. А вот найти скорость лодки V в стоячей воде и расстояние L, пройденное вниз по течению мы не сможем, потому что осталось одно уравнение с двумя неизвестными (V + U) t = L.