Определите относительное удлинение пружины (25 апреля 2013)

На гладком столе лежит пружина с жесткостью k с начальной длиной l. Масса пружины M. К одному ее концу привязан лежащий на столе брусок массой m, а за другой пружину тянут с силой F. Определите относительное удлинение пружины, полагая жесткость ее достаточной, чтобы в любом сечении удлинение было мало в сравнении с первоначальной длиной.

Сборник задач по общему курсу физики под редакцией В. А. Овчинкина. Стр. 20, задача 2,59.

Комментарии

Так как пружина имеет массу (реальный случай), то следует учесть, что упругая сила в любом ее сечении зависит от координаты этого сечения, отсчитанной, например, от точки прикрепления пружины к бруску.
а как найти эту зависимость Fупр (х) ?
Для груза массой m и части пружины, координата которой x, отсчитанной (как указывалось выше), от места крепления пружины к грузу:

N (x) = (m + xM/l) a.

Продолжение.

Для оставшейся части пружины

(M − xM/l) a = F − N (x)

находим упругую силу N (x), а с ней и зависимость механического напряжения σ от координаты x:

σ (x) = εE = N (x) / S = F / (S (M + m)) • (m + xm/l).

Далее, Вам надо найти удлинение пружины интегрированием (суммируя элементарные удлинения).

N (x) = (m + Mx/l) F / (M + m);

k1 = kl / dx,

где k1 — жесткость части пружины длины dx.

N = k1 dΔl = kl dΔl / dx,

kl dΔl / dx = (m + Mx/l) F / (M + m),

dΔl = [(m + Mx/l) F / (kl (m + M))] dx.

Интегрируя х по всей длине, получаю:

Δl = (F/k) [(2m + M) / (2m + 2M)],

Δl/l = (F/kl) [(2m + M) / (2m + 2M)].

Надоело разбираться?