Астрофизический портал | |
|
Найти теплоту, отданную газом за весь цикл (25 марта 2013)
shtunder - 25 марта, 2013 - 23:01
С идеальным одноатомным газом проводят цикл 1-2-3-4-5-6-1, как на рисунке.
Po = 3 200 Па, Vo = 4.3 м3.
1) Найти теплоту, отданную газом внешним телам за весь цикл.
2) Найти Q56.
Источник: задача из СПбГУ (Барсик).
- версия для печати
- Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии
Комментарии
?U = (3/2) ?R?T.
Q = ?U + A.
Газ отдает теплоту, если Q < 0. Ищем, где это происходило. Есть участки 3-4, 4-5, "подозрительный" 5-6, 6-1.
Исследуем каждый участок.
Участок 3-4: работа на этом участке 0. ΔU < 0, ⇒ Q < 0 (отданное кол-во теплоты на этом участке: 361.2 кДж).
Участок 4-5: Δ U < 0. A < 0, ⇒ Q < 0 (отданное кол-во теплоты на этом участке: 43 кДж).
Участок 5-6: Δ U > 0. A < 0, исследуем этот участок. И получается, что Q > 0 (17.2 кДж).
Участок 6-1: работа на этом участке 0. Δ U < 0, ⇒ Q < 0 (отданное кол-во теплоты на этом участке: 103.2 кДж).
Таким образом, газ отдает теплоту на участках: 3-4, 4-5, 6-1. И кол-во теплоты: 507.4 кДж.
Правильный ответ: 542.234 ± 0.11 кДж.
Не могу найти, где я ошибаюсь.
Q56 ищу таким же образом, но ответ опять не сходится. Мой ответ: 17.2 кДж.
Правильный ответ: 52.03 ± 0.11 кДж.
Точка T7 имеет "координаты" P = 2.5Po, V = 2.5Vo.
Тогда:
Q56 = Q57 = 3PoVo = 41.28 кДж.
Q, отданное газом внешним телам:
Q3-4 + Q4-5 + Q7-6 + Q6-1 = 531.48 кДж.
P = kV + b.
Найдем k и b.
Для точки 6: 3Po = 2kVo + b,
для точки 5: Po / 2 = 4.5kVo + b.
Решая систему, получается:
b = 5Po,
k = −Po / Vo.
Таким образом, уравнение прямой 5-6 примет вид:
P = −PoV / Vo + 5Po.
PV = μRT, ⇒
−PoV2 / Vo + 5PoV = μRT.
f (P, V) = −PoV2 / (VoμR) + 5PoV / (μR).
df/dV = 0, ⇒
−2PoV / (VoμR) + 5Po / (μR) = 0, ⇒
V = 5Vo / 2, ⇒
P = 5Po / 2.
На участке 7 − 6: T6/T7 = 24/25, температура уменьшается, и газ сжимается.
Q56 = Q57 = ΔU57 + A57.
2) Количество теплоты, которое газ отдал окружающим телам за весь цикл, Q = Q34 + Q45 + Q76 + Q61.
V* = 25 Vo / 8.
В этой точке Q принимает максимальное значение. Следовательно, в процессе 5-6 газ будет получать тепло не до точки (V = 5 Vo / 2), а до точки (V* = 25 Vo / 8).
Рассмотрим только участок 5-6.
Уравнение прямой: p = kV + b
(для точки 5: p5 = kV5 + b,
для точки 6: p6 = kV6 + b).
Решая систему, найдем k и b.
k = −(p6 − p5) / (V5 − V6) = −po / Vo.
b = (p6V5 − p5V6) / (V5 − V6) = 5po.
Первый закон термодинамики: Q = ΔU + A.
Отметим на графике некоторую точку с "координатами" p и V. Исследуем зависимость количества теплоты от объема.
A = −(p + p5) (V5 − V) / 2 = −[(kV + b) + p5] [V5 − V] / 2 = kV2/2 + (p5 − kV5 + b) V/2 − (p5 + b) V5/2.
ΔU = 3μR (T − T5) / 2 = 3kV2/2 + 3bV/2 − 3p5V5/2.
Q (V) = 2kV2 + (p5 − kV5 + 4b) V/2 − (4p5 + b) V5/2.
dQ(V) / dV = 4kV + (p5 − kV5 + 4b) / 2 = 0, ⇒
V* = −(p5 − kV5 + 4b) / (8k) = 5 (p6V5 − p5V6) / [8 (p6 − p5)] = 25Vo / 8.
Т. к. d2Q(V) / dV2 = 4k < 0 — значит, Q (V*) — максимум.
p* = 15po / 8.
A = −209 poVo / 128.
ΔU = 693 poVo / 128.
Q56 = Q (V*) = 121 poVo / 32 = 52.03 кДж.
Из этого всего получаются интересные выводы.