Найти теплоту, отданную газом за весь цикл (25 марта 2013)

рисунок к задачеС идеальным одноатомным газом проводят цикл 1-2-3-4-5-6-1, как на рисунке.

Po = 3 200 Па, Vo = 4.3 м3.

1) Найти теплоту, отданную газом внешним телам за весь цикл.

2) Найти Q56.

Источник: задача из СПбГУ (Барсик).

Комментарии

Решение.

?U = (3/2) ?R?T.

Q = ?U + A.

Газ отдает теплоту, если Q < 0. Ищем, где это происходило. Есть участки 3-4, 4-5, "подозрительный" 5-6, 6-1.

Исследуем каждый участок.

Участок 3-4: работа на этом участке 0. ΔU < 0, ⇒ Q < 0 (отданное кол-во теплоты на этом участке: 361.2 кДж).

Участок 4-5: Δ U < 0. A < 0, ⇒ Q < 0 (отданное кол-во теплоты на этом участке: 43 кДж).

Участок 5-6: Δ U > 0. A < 0, исследуем этот участок. И получается, что Q > 0 (17.2 кДж).

Участок 6-1: работа на этом участке 0. Δ U < 0, ⇒ Q < 0 (отданное кол-во теплоты на этом участке: 103.2 кДж).

Таким образом, газ отдает теплоту на участках: 3-4, 4-5, 6-1. И кол-во теплоты: 507.4 кДж.

Правильный ответ: 542.234 ± 0.11 кДж.

Не могу найти, где я ошибаюсь.

Q56 ищу таким же образом, но ответ опять не сходится. Мой ответ: 17.2 кДж.

Правильный ответ: 52.03 ± 0.11 кДж.

Ошибка в участке 5 − 6. Исследуйте его. Здесь есть точка (пусть 7), в которой температура выше Т5 и ниже, чем Т6.
Точно! Я почему-то и не заметил... Но ответ не сходится и в этом случае.

Точка T7 имеет "координаты" P = 2.5Po,   V = 2.5Vo.

Тогда:

Q56 = Q57 = 3PoVo = 41.28 кДж.

Q, отданное газом внешним телам:

Q3-4 + Q4-5 + Q7-6 + Q6-1 = 531.48 кДж.

Для начала обоснуйте "координаты" для точки 7.
Так это я уже показал результат для точки 7. Там надо составить уравнение прямой, взять производную по V и приравнять ее (производную) к 0. В итоге найдем, при каком V температура максимальна. Далее из уравнения состояния идеального газа найдем P и Т.
Решение для значений p и V для 7 точки пишите подробно.
Уравнение прямой 5-6:

P = kV + b.

Найдем k и b.

Для точки 6:   3Po = 2kVo + b,

для точки 5:   Po / 2 = 4.5kVo + b.

Решая систему, получается:

b = 5Po,

k = −Po / Vo.

Таким образом, уравнение прямой 5-6 примет вид:

P = −PoV / Vo + 5Po.

PV = μRT,   ⇒

−PoV2 / Vo + 5PoV = μRT.

f (P, V) = −PoV2 / (VoμR) + 5PoV / (μR).

df/dV = 0,   ⇒

−2PoV / (VoμR) + 5Po / (μR) = 0,   ⇒

V = 5Vo / 2,   ⇒

P = 5Po / 2.

Ок. Теперь разбираемся с участком 5 − 7: здесь T7/T5 = 25/9 − температура растет, и газ получает количество теплоты, при этом сжимается (!).

На участке 7 − 6:   T6/T7 = 24/25, температура уменьшается, и газ сжимается.

1)   Т.е. Q56   — количество теплоты, которое получает газ на этом участке, равно Q57.

Q56 = Q57 = ΔU57 + A57.

2)   Количество теплоты, которое газ отдал окружающим телам за весь цикл, Q = Q34 + Q45 + Q76 + Q61.

Нашел сегодня интересную точку на прямой 5-6:

V* = 25 Vo / 8.

В этой точке Q принимает максимальное значение. Следовательно, в процессе 5-6 газ будет получать тепло не до точки (V = 5 Vo / 2), а до точки (V* = 25 Vo / 8).

Размышления по нахождению этой "интересной точки" пишите.
Ответ сошелся! Решение выложу после 31 марта.
рисунок к решению задачи

Рассмотрим только участок 5-6.

Уравнение прямой: p = kV + b

(для точки 5: p5 = kV5 + b,

для точки 6: p6 = kV6 + b).

Решая систему, найдем k и b.

k = −(p6 − p5) / (V5 − V6) = −po / Vo.

b = (p6V5 − p5V6) / (V5 − V6) = 5po.

Первый закон термодинамики: Q = ΔU + A.

Отметим на графике некоторую точку с "координатами" p и V. Исследуем зависимость количества теплоты от объема.

A = −(p + p5) (V5 − V) / 2 = −[(kV + b) + p5] [V5 − V] / 2 = kV2/2 + (p5 − kV5 + b) V/2 − (p5 + b) V5/2.

ΔU = 3μR (T − T5) / 2 = 3kV2/2 + 3bV/2 − 3p5V5/2.

Q (V) = 2kV2 + (p5 − kV5 + 4b) V/2 − (4p5 + b) V5/2.

dQ(V) / dV = 4kV + (p5 − kV5 + 4b) / 2 = 0,   ⇒

V* = −(p5 − kV5 + 4b) / (8k) = 5 (p6V5 − p5V6) / [8 (p6 − p5)] = 25Vo / 8.

Т. к. d2Q(V) / dV2 = 4k < 0   — значит, Q (V*) — максимум.

p* = 15po / 8.

A = −209 poVo / 128.

ΔU = 693 poVo / 128.

Q56 = Q (V*) = 121 poVo / 32 = 52.03 кДж.

Из этого всего получаются интересные выводы.

На кого была рассчитана эта задача? Олимпиада, заочный тур, вступительный экзамен?..
Олимпиада. Очный тур. 11 класс.
Надоело разбираться?