Определите силу, действующую со стороны падающей гантели (21 февраля 2013)

рисунок к задачеОпределите силу, действующую на гладкую горизонтальную плоскость со стороны падающей гантели в момент, когда ось гантели составляет угол α с горизонтом. Гантель начинает свое движение из вертикального положения без начальной скорости. Масса каждого шара гантели m.

Источник: задача 6.42, стр. 76 в сборнике Савченко, 1981 год.

Комментарии

Скорость v можно найти из закона сохранения энергии. Т.к. центр масс шариков не перемещается по горизонтали, то горизонтальные составляющие скоростей (v||) обоих шариков шариков в любой момент времени равны по модулю и направлены в противоположные стороны.

v|| = v sin α.

Тогда:

mgl = mv2||/2 + mv2/2,

v2 = 2gl / (1 + sin2 α).

Запишем второй закон Ньютона для верхнего шарика:

N − mg sin α = maц.

Сила, действующая на горизонтальную поверхность:

F = N sin α + mg.

Чтобы найти aц, надо найти радиус кривизны. Только надо учесть, что верхний шарик движется по эллипсу.

Верхний шарик действительно движется по эллипсу, у которого вертикальная полуось вдвое больше горизонтальной, но нам это не нужно. Рассматриваем не один из шариков, а всю конструкцию целиком. Центр масс движется вертикально, а кроме этого вся конструкция вращается. Составляем два уравнения движения. У левого шарика вертикальная скорость отсутствует, и это дает возможнсть связать вертикальную скорость центра масс с угловой скоростью. Реакция пола у меня получилась:

N = 2mg / (1 + cos2 α).

Если угол 45 градусов, то (4/3) mg.

Надоело разбираться?