Задача 8: заряды в сферах меняют местами

рисунок к задачеДве удаленные друг от друга проводящие сферы, внешние радиусы которых R и 3R, имеют толщину стенок R/20. В центры сфер помещены заряды Q и 2Q. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы поменять местами эти заряды (в стенках для этой цели предусмотрены маленькие отверстия)?

(Задача Республиканской олимпиады 1990 г. в 10 классе).


Решение

Поле точечного заряда помещенного в центре проводящей сферы некоторой толщины, отличается от поля точечного заряда только в областях нахождения проводника: там оно «съедено» (вспомните принцип электростатической защиты). Таким образом, энергия полей в двух случаях отличаются только на энергию указанной области.

В условии задачи даны достаточно тонкие сферы — поэтому можно упростить расчет, считая плотность энергии поля постоянной по всему объему. В нашем случае:

ΔW = εoE2V = εo(Q)24πR2ΔR.
224πεoR2
Wнач = WQ + W2Qεo(Q )24πR2ΔR εo(2Q)24π • 9R2ΔR.
24πεoR224πεo9R2
Wкон = WQ + W2Qεo(2Q )24πR2ΔR εo(2Q)24π • 9R2ΔR.
24πεoR224πεo9R2
где ΔW — величина «съеденной» энергии поля, Wнач и Wкон — соответственно начальное и конечное значение энергии системы.

Согласно закону сохранения энергии:

Wкон = Wнач + A,
где A — искомое значение зарядов минимальной работы по перестановке местами.
В нашем случае:
A = − Q2.
60 • πεoR


Далее: внутрь конденсатора вставили пластину   [тема: «нестандартные» задачи по электростатике]



Надоело разбираться?