Задача 7: абсолютно упругое столкновение трех висящих шаров

Демонстрационная игрушка состоит из почти касающихся друг друга стальных шаров с массами M, μ и m, подвешенных так, что их центры лежат на общей горизонтали. Шар массой M отклоняют в сторону в их общей плоскости, пока его центр не поднимется на высоту h, и отпускают. Считая, что столкновения абсолютно упругие и что M ≠ m, найдите массу шара μ, при которой шар массой m поднимется до наибольшей высоты. Какова эта высота? Множественные столкновения шаров не учитывать.

(Библиотечка кванта. Двести задач по физике. № 46.)



Решение:

Запишем закон сохранения импульса и энергии для первого столкновения:
M√(2gh) = MV + μv,
Mgh = MV2+ μv2.
22
Исключая V, получим:
v =2M√(2gh).
M + μ
Тогда кинетическая энергия E1, переданная от первого шара среднему, равна:
E1 = μv2= 4μM2gh,
2(μ + M)2
что составляет долю начальной энергии первого шара, равную:
k1 = E1= 4μM2gh= 4μM.
E(μ + M)2Mgh(μ + M)2
Доля энергии, переданной третьему шару, определяется произведением двух таких выражений, примененных к различным парам шаров. Для оптимизации этой доли μ должно быть таким, чтобы выражение:
μ2(μ + m)2
(μ + M)2
было максимальным. Отсюда следует, что:
μ = √(Mm),
т. е. μ равно среднему геометрическому от M и m. При таком значении μ суммарная доля k2 переданной энергии от первого шара третьему составляет:
k2 = 16Mm,
(√M + √m)4
а высота hmax, достигаемая третьим шаром, равна:
hmax = 16M2h.
(√M + √m)4
На правах рекламы: Эллиптический тренажер на 4GYM.


Далее: движение модели корабля   [тема: задачи - модели]