Задача 11: оцените частоту писка летящего комара

Оцените частоту писка летящего комара. Длина его туловища равна длине каждого из двух крыльев и составляет l = 3 мм, толщина туловища равна ширине крыла d = 0,5 мм. Плотность воздуха ρ1 = 1,2 кг/м3, плотность комара ρ2 = 1000 кг/м3.



Решение:

Пусть комар машет крыльями с частотой ν. Предположим, что амплитуда взмахов его крыльев имеет порядок длины крыла, то есть равна l, и что крылья опускаются плашмя, а поднимаются ребром, так что сопротивлением воздуха при поднимании крыльев можно пренебречь. Средняя скорость воздуха, отбрасываемого крыльями, равна V = νl. Сила сопротивления движению крыла даётся формулой:
f =1ρ1SV2,
2
где S = l • d — площадь крыла. (Для нахождения оценки можно получить эту формулу методом размерностей, предположив, что сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости. В этом случае в результате будет отсутствовать коэффициент 1/2, что является несущественным.)

Подъёмная сила равна произведению средней по времени силы сопротивления движению крыла на число крыльев (у комара их два). Так как крыло отбрасывает воздух только тогда, когда опускается вниз, то средняя по времени сила сопротивления вдвое меньше f. Значит, подъёмная сила равна:

F = 2f= 1ρ1SV2 = 1ρ1v2l3d,
222
и поскольку комар не падает, то она должна уравновешивать его вес:
1ρ1ν2l3d = mg = ρ2ld2g.
2
Отсюда:
ν = 1√(2gd) ≈ 1 кГц ≈ 103 Гц.
lρ1
Этот результат достаточно хорошо согласуется с реально наблюдаемой частотой писка комара.


Далее: нагревание поверхности самолета   [тема: задачи оценки]