Решение задачи 2 о величине заряда в нижней точке сферы

Условие: внутри гладкой сферы находится маленький заряженный шарик. Какой величины заряд нужно поместить в нижней точке сферы для того, чтобы шарик удерживался в ее верхней точке?



Решение: заряд Q, который нужно поместить в нижней точке сферы, должен быть таким, чтобы электрическая сила, действующая на верхний заряд, была не меньше силы тяжести mg, то есть
kqQ  ≥ mg, отсюда
d2
Q ≥ mgd2 .
kq
Однако нам надо еще проверить, будет ли такое равновесие устойчивым. Рассмотрим малое отклонение шарика от положения равновесия.
Равновесие шарика устойчиво, если проекция силы F электрического взаимодействия зарядов на касательную к сфере больше или равна проекции силы тяжести на ту же касательную:
kqQ·sin α  ≥ mg·sin 2α
d2
(Сила N реакции опоры перпендикулярна поверхности сферы.)
Так как угол α отклонения шарика от положения равновесия мал, то sin αα, sin 2α. Поэтому
kqQ·α  ≥ mg·2α
d2
Следовательно, для устойчивого равновесия шарика в верхней точке сферы в нижнюю точку сферы должен быть помещен заряд равный
Q ≥ 2mgd2 .
kq

Далее: определение отношения зарядов 2 шариков, свободно расположенных на кольце   [тема: задачи по электростатике]