Задачи по кинематике для подготовки к олимпиаде по физике

Здесь представлено 20 задач по кинематике для подготовки к олимпиадам по физике из методического пособия В. Грабцевича. Задачи имеют ответы, но предлагаются без готовых решений.


1. Из двух портов, расстояние между которыми l, одновременно выходят два катера со скоростями v1 и v2, направленными соответственно под углами α и β к прямой, соединяющей порты. Каково минимальное расстояние между ними?

[ rmin =l (v2 sin β − v1 sin α)]
√(v12 + v22 + 2v1v2cos(α + β))


2. С поверхности Земли бросили вертикально вверх кусочек пластилина со скоростью vo. Одновременно такой же кусочек пластилина начал падать без начальной скорости с высоты H. При столкновении кусочки слиплись. Через какое время после начала бросания и с какой скоростью слипшийся комок упадет на Землю?

[ t =vo + √(vo2 + 4gH)]
 2g 
[ v =√(vo2 + 4gH)]
 2 


3. С подводной лодки, погружающейся равномерно, испускаются звуковые импульсы длительностью 30,1 c. Длительность импульса, принятого на лодке после его отражения от дна, равна 29,9 c. Определите скорость погружения лодки. Скорость звука в воде 1500 м/с.

[ v = vЗt1 − t2= 5 м/с ]
t1 + t2


4. Пловец переплывает реку шириной L по прямой, перпендикулярной берегу, и возвращается обратно, затратив на весь путь время t1 = 4 мин. Проплывая такое же расстояние L вдоль берега реки и возвращаясь обратно, пловец затрачивает время t2 = 5 мин. Во сколько раз α скорость пловца относительно воды превышает скорость течения реки?

[ α =  t2= 5]
√(t22 − t12)3


5. Жонглер бросает вертикально вверх шарики с одинаковой скоростью через равные промежутки времени. При этом пятый шарик жонглер бросает в тот момент, когда первый шарик возвращается в точку бросания. Найдите максимальное расстояние Smax между первым и вторым шариками, если начальная скорость шариков vo = 5 м/c. Ускорение свободного падения принять g = 10 м/c2. Сопротивлением воздуха пренебречь.

[ Smax = 3vo2≈ 0,94 м. ]
 8g 


6. Вдоль железной дороги через каждые 100 м расставлены столбики с номерами 1, 2,..., 10, 1, 2,..., 10,.... Через 2 минуты после того, как кабина машиниста равномерно движущегося поезда проехала столбик с цифрой «1», машинист увидел в окне столбик с цифрой «2». Через какое время после проезда этого столбика кабина машиниста может проехать мимо ближайшего столбика с цифрой «3»? Скорость поезда меньше 100 км/ч.

[ t1 = 120 с,   t2 = 10,9 с,   t3 = 5,7 с,   t4 = 3,9 с ]


7. У мальчика, сидящего на вращающейся с угловой скоростью w карусели на расстоянии R от ее оси, выпали из кармана с интервалом t два камушка. На каком расстоянии друг от друга ударятся о землю эти камушки, если высота, с которой они упали, равна h?

[ ΔL = 2R • |sinwt| • √(1 + 2hw2) ]
2g


8. Первый вагон тронувшегося с места поезда прошел мимо неподвижного наблюдателя, стоявшего у начала этого вагона, за время t1, последний вагон — за t2. Считая движение поезда равноускоренным, а длины вагонов одинаковыми, найдите время движения мимо наблюдателя всего поезда.

Ответ:   t = t12 + t22,
2t2
если исходные данные таковы, что:
 (t12 + t22)2   — целое число,
2t1t2
то искомое время:
t = t12 + t22;
2t2
если:
 (t12 + t22)2   — не является целым числом,
2t1t2
то задача решения не имеет.


9. На пол кабины лифта, движущегося вертикально вверх с постоянной скоростью, падает вертикально вниз упругий шарик. Определить скорость лифта, если после каждого удара шарик, не касаясь потолка, удаляется от пола лифта на максимальное расстояние за время t, а за время между двумя последовательными ударами об пол проходит путь L относительно Земли.

[ u = √(g(L − gt2)).
Из этого выражения следует, что задача имеет решение, если исходные данные удовлетворяют условию:
L > gt2.
При невыполнении этого условия в рамках сделанных предположений задача не имеет решения.]


10. Эскалатор метро движется со скоростью v. Пассажир заходит на эскалатор и начинает идти по его ступеням следующим образом: делает шаг на одну ступеньку вперёд и два шага по ступенькам назад. При этом он добирается до другого конца эскалатора за время t. Через какое время пассажир добрался бы до конца эскалатора, если бы шёл другим способом: делал два шага вперёд и один шаг назад? Скорость пассажира относительно эскалатора при движении вперёд и назад одинакова и равна u. Считайте, что размеры ступеньки много меньше длины эскалатора.

[ t1 = (3v − u)t]
3v + u


к задаче 1111. На полу около стены стоит гладкий клин. На его плоскости, образующей с горизонтом угол φ, лежит груз, удерживаемый невесомой нерастяжимой нитью. Один конец нити прикреплен к стене так, что участок нити между стеной и клином горизонтален. Остальная часть нити лежит на наклонной плоскости (рисунок). Найдите зависимость от времени t скорости движения груза относительно пола после начала движения клина от стены с ускорением a, параллельным горизонтальному участку нити.

[ vгр(t) = 2at sin (φ). ]
2


12. Стержень длиной l = 0,85 м движется в горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорости концов стержня равны v1 = 1 м/с и v2 = 1,5 м/с, причем скорость первого из них направлена под углом α = 30° к стержню. Какова угловая скорость w вращения стержня вокруг его центра?

[ w = 1(v1 sin α + √(v22 − v12cos2α)) ≈ 2 рад/с. ]
l


к задаче 1313. Маленький шарик падает без начальной скорости с некоторой высоты H на наклонную плоскость (рисунок). После удара он попадает на вторую плоскость. Точка первого удара находится на расстоянии L от линии соприкосновения плоскостей. С какой высоты H упал шарик, если после двух упругих ударов он снова поднялся на ту же высоту? Угол наклона плоскостей к горизонту равен α, причем α < π/4.

[ H = L. ]
sin 4α


14. Дымовая шашка падает вертикально с высоты Ho с нулевой начальной скоростью. Дым сносится ветром, который дует горизонтально на всех высотах с постоянной скоростью vo. На сколько будет снесен относительно вертикальной траектории шашки на высоте h над поверхностью Земли в момент падения шашки на земли? Ускорение свободного падения g.

[ x = vo√(2ho)(1 − √(1 − h)). ]
gHo


15. Колесо катится без проскальзывания с постоянной скоростью v. С верхней точки обода колеса срывается камешек. Через какое время колесо наедет на этот камешек? Радиус колеса R, ускорение свободного падения g.

[ T = 4√(R). ]
g


16. Зал для зимнего футбола имеет высоту h = 8 м и длину L = 100 м. Найти скорость мяча, при которой он пролетит от ворот до ворот, почти коснувшись потолка. Ускорение свободного падения g =10 м/с2. Сопротивлением воздуха и размером мяча пренебречь.

[ v = 1,312√(gL) = 41,5 м/с]


17. В коридоре длиной 11 м и с высотой потолка 3 м у самого начала ударяют о пол мяч со скоростью 10 м/с под углом 60° к горизонту. На какой высоте от пола ударяется мяч о торцевую стенку коридора?
[h = 2,03 м]


18. Трактор «Беларусь» поворачивает так, что частота вращения одного из задних колес равна n1 = 1,5 об/с, а другого — n2 = 1,4 об/с. Расстояние между колесами равно l = 1,9 м. Определите радиус разворота трактора.
[R = 27,6 м]


19. Орудие, установленное на горе высотой h = 2000 м, посылает горизонтально снаряд со скоростью v1 = 800 м/с. Через промежуток времени τ = 5 c из этой же точки выпускается другой снаряд. Какой скоростью v2 он должен обладать и как его надо выпустить, чтобы оба снаряда одновременно упали в одну точку поверхности Земли?

[ v2 = l= 1,07 км/с,
(1 − τ)cos α
α = arctg 0.055 = − 3°12'. ]


20. На длинном шоссе на расстоянии 1 км друг от друга установлены светофоры. Красный сигнал каждого светофора горит в течение 30 секунд, зелёный – в течение следующих 30 секунд. При этом все автомобили, движущиеся со скоростью 40 км/ч, проехав один из светофоров на зелёный свет, проезжают без остановки, то есть тоже на зелёный свет, и все следующие светофоры. С какими другими скоростями могут двигаться автомобили, чтобы, проехав один светофор на зелёный свет, далее нигде не останавливаться?

[ vn = 1 км=1 км × 3600=120км= 120 км/ч, 40 км/ч, 24 км/ч ...]
(30 + 60n) c(30 + 60n) час2n + 1ч


Вы читате материалы из пособия для подготовки к олимпиадам по физике. Далее: задачи по динамике без решений (с ответами).



Мне кажется, что в задаче № 18 в ответе должно быть 26,6 м.
Пишите решение, будем искать ошибку.
За время t внешнее по отношению к центру кривизны колесо опишет дугу длиной 2πrn1t  (r — радиус колеса), а внутреннее — 2πrn2t. У этих дуг одинаковая угловая мера, поэтому

2πrn1t / (R + L) = 2πrn2t / R.

Отсюда:

R = n2L / (n1 − n2) = 1.4 × 1.9 / (1.5 − 1.4) м = 26.6 м.

И что Вы принимаете за радиус разворота R? А не будет ли R расстоянием от центра разворота до середины между колесами?
Да, думаю, Вы правы.
Вы не могли бы разъяснить подробнее решения первой и четвертой задач?
Не здесь. Если не можете понять, размещайте по общим правилам в РЕШАЕМ ВМЕСТЕ и пишите ту часть решения, которая понятна.
Уточните, пожалуйста, условие первой задачи... Как двигаются катера навстречу друг другу? И по одну ли сторону от линии, которая соединяет два порта?
Рассмотрите случай, когда вектора скоростей лежат по одну сторону от линии, соединяющей порты, и навстречу друг другу.