Городская олимпиада по физике 2007 г. в Бобруйске за 11-й класс


Задачи городской олимпиады Бобруйска по физике за 2007 год для 11-го класса:


Задача 1. «Моторная лодка»
Катер пересекает реку шириной b = 360 м, текущую со скоростью v1 = 2 м/с. Рулевой катера держит курс перпендикулярно течению. Двигатель обеспечивает постоянное ускорение a = 0,1 м/с2. Начальная скорость катера относительно воды равна нулю. Через какое время катер пересечет реку? На сколько он будет снесен течением? С какой скоростью подойдет катер к противоположному берегу и под каким углом к нему?


Задача 2. «Лампочка»
рисунокРабочее напряжение лампочки, вольтамперная характеристика которой приведена на рисунке, равно 3,5 B (кривая обрывается при напряжении 4 B — лампочка перегорает). Две такие лампочки соединяют последовательно и подключают к источнику с напряжением 5 B.

1) Определите, какой ток потечет по цепи?

2) Какой резистор нужно подключить параллельно одной из лампочек, чтобы напряжение на другой составило 3,5 B?

3) Перегорит ли какая-нибудь из лампочек, если этот резистор заменить еще одной такой же лампочкой?


Задача 3. «Электрическое поле кольца»
Кольцо радиусом R с равномерно распределенным по нему зарядом закреплено. На оси кольца на расстоянии 3R/4 от его центра удерживают небольшой по размерам шарик массой m с отрицательным зарядом q. Заряд кольца равен 3q. Шарик отпускают, и он движется вдоль оси кольца. Найдите скорость шарика на расстоянии 4R/3 от центра кольца.


Задача 4. «Колебание чаши»
На чашку, подвешенную на пружине с коэффициентом упругости k, падает с высоты h груз массы m и остается на чашке, т. е. удар груза о дно чашки можно считать абсолютно неупругим. Чашка начинает колебаться.

1) Определите амплитуду колебания чашки, пренебрегая массой чашки.
2) Определите амплитуду колебания чашки, если масса чашки M.


Задача 5. «Ускоритель»
Строится циклотрон, ускоряющий протоны до кинетической энергии 150 МэВ. Индукция магнитного поля в нем составляет 1,00 Тл.

1) Чему должен быть равен радиус магнита?
2) На какой частоте должны работать ускоряющие электроды?
3) На сколько процентов должна меняться эта частота в процессе ускорения данной частицы из-за наличия релятивистских эффектов?

Справочный материал:
mp = 1,67×10−27 кг — масса покоя протона,
q = 1,6×10−19 Кл — заряд протона,
с = 3×108 м/с — скорость света,
1 эВ = 1,6×10−19 Дж.

Комментарии

Задача 1.

Два движения (вдоль реки и поперек) можно рассматривать независимо. Поперек реки катер движется без начальной скорости с постоянным ускорением а и проходит расстояние b за время t.

b = at2 / 2,

t = √(2b / a) = √(2 × 360 / 0.1) = 84.85 c.

За это время его сносит на расстояние S по течению:

S = v1t = 2 × 84.85 = 169,7 м.

Конечная скорость катера поперек реки:

v2 = at = 84.85 × 0.1 = 8.485 м/c.

Полная скорость катера, с которой он подойдет к берегу, — это геометрическая сумма двух составляющих

v = √(v12 + v22) = √(42 + 8.4852) = 8.718 м/c. Начальная координата zo = 3 R / 4, а конечная zf = 4 R / 3, и будем считать ее положительной, то есть над плоскостью кольца

Угол с береговой линией составит arccos (v1 / v) = arccos (2 / 8.718) = 76.74°.

Или можно arctg (v2 / v1) = arctg (8.485 / 2) = 76.74°.


Задача 2.

Вопрос 1. На каждой лампочке падение напряжения составит 5 / 2 = 2.5 В, а ток по диаграмме — приблизительно 0.26 A.

Вопрос 2. Если на второй лампочке напряжение 3.5 В, то по диаграмме по всей цепи течет ток приблизительно 0.28 A. Это же суммарный ток параллельного соединения первой лампочки с резистором. На каждом из двух элементов этого параллельного соединения падение напряжения составит 5 − 3.5 = 1.5 В. При таком падении напряжения ток в первой лампочке составляет по диаграмме приблизительно 0.22 A. Стало быть, ток в подключенном параллельно этой лампочке резисторе — это оставшиеся 0.28 − 0.22 = 0.06 A. А падение напряжения в этом резисторе, напоминаем, 1.5 В. Тогда его сопротивление 1.5 / 0.06 = 25 Ом. Приблизительно. По диаграмме трудно определить точнее.

Вопрос 3. Первая и третья лампочки соединены параллельно, а вторая с ними последовательно. Перегорание происходит при падении напряжения на лампочке не менее 4 В. Большей опасности подвержена лампочка 2, потому что через нее течет весь ток. Допустим, что напряжение на ней 4 В ровно. Ток на этой лампочке по диаграмме примерно 0.287 А. Тогда на параллельном соединении двух других лампочек (с номерами 1 и 3) падение напряжения составляет 5 − 4 = 1 В. По диаграмме ток в каждой из лампочек 1 и 3 составляет примерно 0.175 А, а вместе было бы 0.35 А. Это не согласуется с током лампочки 2, который составляет 0.287 A (что означает: в такой цепи напряжение ровно 4 В на лампочке 2 невозможно). Проверим, наступает ли согласованность токов (в последовательных участках цепи) при меньшем падении напряжения на второй лампочке, чем 4 В, или большем. Попробуем "благоприятный прогноз". Допустим, напряжение на лампочке 2 чуть меньше 4 В. Тогда и ток в ней меньше 0.287 A. На двух других лампочках напряжение больше 1 В, и ток в каждой из них больше 0.175 А, а суммарный ток превышает 0.35 А. Рассогласование токов только усилится. Стало быть, и это невозможно. Вывод: лампочка 2 перегорит.


Задача 3.

Рассчитаем электрический потенциал по оси кольца на высоте z от плоскости кольца. Разделим на элементарные участки с угловой мерой дуги .

dV = [−3kq / (2π)] d φ / √(R2 + z2).

Интегрируем от ноля до и получаем:

V = −3kq / √(R2 + z2).

Потенциальная энергия электрического поля для отрицательного заряда −q будет равна:

A = 3kq2 / √(R2 + z2).

За нулевой уровень потенциальной энергии силы тяжести примем плоскость кольца z = 0. Пусть zo — начальная координата, zf — конечная. Записываем закон сохранения энергии.

3kq2 / √(R2 + zo2) + mgzo = 3kq2 / √(R2 + zf2) + mgzf + mv2 / 2.

Начальная координата zo = 3R / 4, а конечная zf = 4R / 3, и будем считать ее положительной, то есть над плоскостью кольца. Подставляем эти координаты в закон сохранения энергии:

3kq2 / √(R2 + 9R2 / 16) + mg • 3R / 4 = 3kq2 / √(R2 + 16R2 / 9) + mg • 4R / 3 + mv2 / 2, или

12kq2 / (5R) + (3/4) mgR = 9kq2 / (5R) + (4/3) mgR + mv2 / 2, или

3kq2 / (5R) − (7 / 12) mgR = mv2 / 2.

Получаем скорость:

v = √ [6kq2 / (5mR) − (7 / 6) gR].


Задача 4.

Решим задачу сразу для второго варианта, когда чаша весов имеет массу M. Тогда первый вариант, когда у нее массы нет, будет частным случаем второго. Нам нужно договориться насчет нулевого уровня потенциальной энергии. Будем считать "высотой ноль" вертикальную координату, в которой пружина не деформирована. Удар неупругий, поэтому (механическая) энергия не сохраняется, а сохраняется только импульс. При падении тела массы m с высоты h развивается скорость u = √(2gh), потом следует неупругий удар, и обе массы приобретают скорость vo = mu / (m + M).

Начиная с этого момента, энергия сохраняется, и мы будем этим законом пользоваться. Поэтому подсчитаем полную энергию системы, она состоит из трех слагаемых:

1. Кинетическая энергия:

Ко = (m + M) vo2 / 2 = (m + M) m2u2 / [2 (m + M)2] = m2gh / (m + M).

2. Энергия сжатия пружины.

До удара пружина уравновешивала силу тяжести массы M, поэтому kzo = −Mg, отсюда zo = −Mg / k, где zo — начальное сжатие пружины. Минус показывает, что это именно сжатие, и в момент удара чаша ниже недеформированного положения пружины.

Упругая энергия пружины:

Uo = kzo2 / 2 = kM2g2 / (2 k2) = M2g2 / (2k).

3. Потенциальная энергия гравитации Go = (m + M) gzo = −M (m + M) g2 / k.

Полная энергия состоит из этих трех частей, давайте их сложим:

E = Ko + Uo + Go = m2gh / (m + M) + M2g2 / (2k) − M (m + M) g2 / k.

Эта величина будет оставаться постоянной, хотя ее составные части (энергия гравитации, пружины и движения) будут меняться. В любой момент времени энергия по-прежнему состоит из трех частей:

1. Кинетическая энергия, она определяется общей скоростью v двух тел, K = (m + M) v2 / 2.

2. Энергия пружины, определяется растяжением или сжатием z и равна U = kz2 / 2.

3. Энергия гравитации, она тоже определяется положением z и равна G = (m + M) gz.

Мы так выбрали нулевой уровень высоты, что энергия гравитации положительна, когда пружина растянута, и отрицательна, когда пружина сжата. Упругая энергия самой пружины положительна всегда. Собираем все три слагаемых и получаем: K + U + G = E, или

(m + M) v2 / 2 + kz2 / 2 + (m + M) gz = E,

где Е — постоянная полная энергия системы, которую мы уже рассчитали в начальном состоянии. Теперь самое время вспомнить, а что от нас хотят в этой задаче. Расстояние между крайним верхним и крайним нижним положением системы по вертикальной координате z — это как раз две амплитуды колебаний,

A = (zmax − zmin) / 2.

И в обоих случаях скорость равна нулю, потому что в эти моменты скорость как раз меняет знак. В этих крайних положениях системы кинетическая энергия отсутствует, и уравнение состояния принимает вид kz2 / 2 + (m + M) gz = E. Это квадратное уравнение для z, а положения zmax и zmin — как раз его корни.

Его можно представить как az2 + bz = E, тогда zmax = [−b + √(b2 + 4aE)] / (2a), и

zmin = [−b − √(b2 + 4aE)] / (2a).

Разница между корнями позволяет найти амплитуду колебаний:

A = (zmax − zmin) / 2 = √(b2 + 4aE)] / (2a).

Здесь a и b — коэффициенты квадратного уравнения, a = k /2, и b = (m + M) g.

Рассчитаем величину под квадратным корнем, назовем ее d,

d = b2 + 4aE = (m + M)2g2 + 2k [m2gh / (m + M) + M2g2 / (2k) − M (m + M) g2 / k].

Раскроем все скобки, и часть слагаемых взаимно уничтожатся,

d = m2 g2 + 2mMg2 + M2 g2 + 2km2gh / (m + M) + M2 g2 − 2Mmg2 − 2M2g2, или

d = m2g2 + 2km2gh / (m + M).

Амплитуда, которую мы ищем, равна:

A = √(d) / (2a) = √(d) / k, или

A = √(m2g2 / k2 + 2m2gh / [k (m + M)]).

Удобно представить в виде A = (mg / k) √ {1 + (2kh) / [(m + M) g]}.

Это ответ на второй вопрос задачи. В частном случае можно положить M = 0, и это будет ответ на первый вопрос задачи. Всегда неплохо проверить, а не напутали ли мы где-нибудь в алгебре или арифметике. Для проверки найдем амплитуду скорости системы. Вернемся к уравнению состояния:

(m + M) v2 / 2 + kz2 / 2 + (m + M) gz = E.

В первом слагаемом кинетическая энергия, а в двух других потенциальная. Сумма (полная энергия) постоянна. Значит, скорость максимальна в минимуме потенциальной энергии. Найдем этот минимум.

Вся потенциальная энергия равна:

P = k z2 / 2 + (m + M) gz.

В точке минимума ее производная по z равна нулю, а вторая производная положительна:

dP / dz = kz + (m + M) g,

d2P / dz2 = k > 0.

Из равенства нулю производной, находим координату z, которая соответствует минимуму потенциальной энергии, z = −(m + M) g / k.

Теперь подставляем найденное значение z в уравнение состояния,

(m + M) vmax2 / 2 + (m + M)2g2 / (2k) − (m + M)2 g2 / k = E.

Можно упростить:

(m + M) vmax2 / 2 − (m + M)2 g2/ (2k) = E.

Отсюда находим максимальную кинетическую энергию системы:

(m + M) vmax2 / 2 = E + (m + M)2 g2/ (2k).

Вместо полной энергии Е подставляем ее значение:

E = m2 gh / (m + M) + M2 g2 / (2k) − M (m + M) g2 / k.

Максимальная кинетическая энергия равна:

(m + M) vmax2 / 2 = m2gh / (m + M) + M2g2 / (2k) − M (m + M) g2 / k + (m + M)2g2 / (2k).

Снова раскроем все скобки, чтобы упростить выражение.

(m + M) vmax2 / 2 = m2gh / (m + M) + M2g2 / (2k) − Mmg2 / k − M2 g2 / k + m2g2/ (2k) + M2g2 / (2k) + Mmg2 / k, или

(m + M) vmax2 / 2 = m2gh / (m + M) + m2 g2/ (2k).

Отсюда находим максимальное (амплитудное) значение скорости:

vmax = √{2 m2gh / (m + M)2 + m2g2 / [(m + M) k]}.

Это амплитудное значение удобно представить в виде:

vmax = mg / [√ (m + M) √k] √{1 + (2kh) / [(m + M) g]}.

Теперь рассчитаем отношение амплитуды скорости vmax к амплитуде перемещения A — оно должно быть равно частоте колебаний ω. В данной задаче речь идет о свободных колебаниях с амплитудой A = (mg / k) √ {1 + (2kh) / [(m + M) g]}.

vmax / A = √(k) / √(m + M) = ω.

То есть, мы сделали проверку (сравнив амплитуды скорости и перемещений) и показали, что квадрат угловой частоты колебаний равен ω2 = k / (m + M). А это очевидный результат, здесь всегда простое соотношение, зависящее только от свойств системы (то есть массы и жесткости пружины), и в отличие от амплитуд, не зависящее от начальных условий, а для колебаний массы на пружине, еще и гравитация никак не влияет на собственную частоту. Квадрат угловой частоты равен отношению жесткости пружины к массе — это мы и проверяли.


Задача 5.

По-видимому, при ответе на первые два вопроса предполагается, что релятивистские эффекты учитывать не нужно.

Вопрос 1. Протон движется по кругу, и нормальное центростремительное ускорение создает сила Лоренца, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле:

F = mv2 / R = qBv,

где q — заряд протона, m — его масса (релятивистские эффекты игнорируем и считаем равной массе покоя), v — его скорость и R — радиус траектории.

Кинетическая энергия, тоже по классической физике, K = mv2 / 2, и отсюда 2K / R = qBv, а радиус траектории равен R = 2K / (qBv).

Скорость находим из кинетической энергии, v = √(2K / m).

Поставляем в формулу для радиуса:

R = 2K / (qB √(2K / m)) = √[(2Km) / (qB)].

Подставляем числа и получаем R = 1.770 м.

Вопрос 2. Магнитное поле протон не ускоряет, а лишь гоняет его по кругу. Протон ускоряется электрическим полем в зазорах между магнитами, и частота изменения электрического поля должна быть согласована с частотой вращения. Перепишем уравнение для центростремительной силы Лоренца так, чтобы в него входила угловая частота mv ω = qvB.

Можно сократить скорость, и это дает mω = qB. Отсюда ω = qB / m. Это угловая частота, а просто частота равна:

f = ω / (2π) = qB / (2πm).

Подставляем числа и получаем, f = 1.525 × 107 Герц = 15.25 Мегагерц.

Вопрос 3. Релятивистская масса в знаменателе формулы для частоты будет расти, поэтому частота уменьшится с коэффициентом:

s = √(1 − v2 / c2),

где v — скорость протона, а с — скорость света.

Зная радиус и частоту вращения, мы можем оценить скорость (приблизительно, конечно, потому что и радиус, и частота рассчитывались без учета релятивистских эффектов). Итак, v = ωR = 2πfR. Подставляем числа и получаем:

v = 1.696 × 108 м/с.

Отношение скорости электрона к скорости света v / c = 0.5653. Многовато для циклотрона, но если это требование заказчика проекта, то девчонки из отдела продаж циклотронов пообещают сделать в лучшем виде, а конструкторы потом будут биться головой об магнит. Кстати, при такой скорости (больше половины скорости света) релятивистские эффекты нужно учитывать сразу, а не поправками потом, иначе ответ будет очень приблизительным. Итак, поправочный множитель s = √(1 − v2 / c2) = 0.825. С учетом этой поправки частота ускоряющих электродов снизится и составит f = 12.58 Мегагерц.

Надоело разбираться?