Городская олимпиада по физике 1984 года в Бобруйске за 11-й класс


Задачи городской олимпиады Бобруйска по физике за 1984 год для 11-го класса:

1. Барометр дает неверные показания вследствие присутствия небольшого количества воздуха над столбиком ртути. При давлении 755 мм рт. ст. барометр показывает 748 мм рт. ст., а при 740 мм рт. ст. он показывает 736 мм. рт. ст. Найти длину трубки барометра.   [764 мм]

2. Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если последовательное соединение пружин заменить параллельным?   [1/2]

3. Определить плотность смеси, состоящей из 5,6 г азота и 6,4 г кислорода. Давление нормальное, температура 27 °С.

4. Ледяная гора составляет с горизонтом угол 10°. По ней пускают вверх камень, который, поднявшись на некоторую высоту, соскальзывает по тому же пути. Каков коэффициент трения, если время спуска в 2 раза больше времени подъема?   [0,1]

5. Телеграфная линия имеет сопротивление R и длину L и состоит из проводов одинакового сечения. Как определить, на каком расстоянии от станции произошло замыкание?

6. Катушку с ничтожно малым сопротивлением и индуктивностью 3 Гн подключили к источнику постоянного напряжения с ЭДС 1,5 B. Через какое время ток в катушке достигнет 50 A? Сопротивлением источника пренебречь.


Задача 1.

При давлении 755 мм рт. ст. барометр показывает 748 мм. Стало быть, давление воздуха над ртутью — это те самые недостающие 755 − 748 = 7 мм ртутного столба. Во втором случае при 740 мм рт. ст. барометр показывает 736 мм. Давление воздуха над ртутью 740 − 736 = 4 мм ртутного столба. Масса воздуха в обоих случаях одна и та же. Разумно предположить, что давления измерялись при одинаковой температуре. (Можно потом отдельно проверить, сильно ли повлияет на погрешность ответа небольшая разница температур в двух измерениях давления, но это уже другая задача). При одинаковых температурах давления обратно пропорциональны объемам воздуха над ртутью. Поскольку это одна и та же трубка с определенной площадью поперечного сечения, то давления обратно пропорциональны длинам воздуха над ртутью. Если длина трубки L, то в первом измерении длина воздушного столика над ртутью L − 748 мм, а во втором L − 736 мм. Получаем пропорцию (L − 748) / (L − 736) = 4 / 7, или (L − 748) 7 = (L − 736) 4.

Отсюда, L = (748 × 7 - 736 × 4) / 3 = 764 мм.


Задача 2.

"Жесткости пружин подобны электрическим конденсаторам" (Козьма Прутков). При последовательном соединении пружин складываются податливости, и в случае двух одинаковых пружин жесткость системы равна половине жесткости одной пружины. При параллельном соединении пружин складываются жесткости, и в случае двух одинаковых пружин, жесткость системы оказывается равна удвоенной жесткости одной пружины. Таким образом, если последовательное соединение пружин заменить параллельным, то жесткость системы возрастает в 4 раза. Частота колебаний пропорциональна квадратному корню из отношения жесткости системы к массе груза. Следовательно, частота вырастет в два раза. Соответственно, период колебаний уменьшится тоже в 2 раза.


Задача 3.

У азота атомная масса 14, молекулярная 28, а у кислорода 16 и 32 соответственно. Значит, имеется 5.6 / 28 = 0.2 моля азота и столько же 6.4 / 32 = 0.2 моля кислорода. Всего 0.2 + 0.2 = 0.4 моля газовой смеси. При нормальных условиях один моль занимает объем 22.4 литра, a 0.4 моль занимает 0.4 × 22.4 = 8.96 литра. У нас давление нормальное, а температура — нет. Нормальная температура 273 K, а у нас 273 + 27 = 300 K. При постоянном давлении объемы пропорциональны абсолютной температуре, поэтому в нашем случае занимаемый объем (8.96 / 273) × 300 = 9.85 литра. Масса смеси 5.6 + 6.4 = 12 граммов. Плотность равна 12 / 9.85 = 1.218 граммов на литр, или, что тоже самое, 1.218 кг/м3.


Задача 4.

S — длина наклонного пути в одну сторону, V1 — начальная скорость у подножия при броске, V2 — конечная скорость тоже у подножия по возвращении. Ускорение a1 при подъеме будем считать отрицательным, а2 при спуске — положительным:

a1 = −g (sin α + μ cos α),

a2 = g (sin α − μ cos α).

Vz = 0, это будет нулевая скорость в верхней точке пути. Путь в одну сторону равен:

S = (Vz2 − V12) / (2a1) = −V12 / (2a1),

а также S = (V22 − Vz2) / (2a2) = V22 / (2a2).

Приравниваем пути на подъеме и спуске и подставляем ускорения,

V12 / [g (sin α + μ cos α)] = V22 / [g (sin α − μ cos α)].

Приращения скорости на каждой части пути:

Vz − V1 = a1t1, и V2 − Vz = a2t2.

Отсюда следует:

V1 = g (sin α + μ cos α) t1,

V2 = g (sin α - μ cos α) t2.

Здесь t1 — время подъема, t2 — время спуска. Эти выражения для скоростей подставляем в формулу, которая приравнивает путь на подъеме и спуске,

(sin α + μ cos α) t12 = (sin α − μ cos α) t22.

(sin α + μ cos α) / (sin α − μ cos α) = t22 / t12.

(tg α + μ) / (tg α − μ) = t22 / t12.

μ = (t22 − t12) / (t22 + t12) tg α = (4 − 1) / (4 + 1) tg α = 0.6 tg 10o = 0.1058.


Задача 5.

При номинальном напряжении U в цепи течет контрольный ток I. Допустим, на расстоянии S от станции замкнуло. Сопротивление уменьшилось пропорционально длине двойного пути, потому что проводов два:

R/ / R = 2S / (2L),

где R/ — сопротивление цепи при замыкании, R — сопротивление в нормальном режиме. Двойки в числителе и знаменателе, конечно же сокращаются, так что учитывать двойной путь или в одну сторону — значения не имеет.

R/ = RS / L.

При номинальном напряжении и наличии замыкания ток I/ = U / R/ отличается от контрольного тока I = U / R.

Сравниваем эти два тока:

I/ / I = URL / (URS) = L / S.

Подают номинальное напряжение и сравнивают измеренное значение тока с контрольным значением в нормальной цепи. Чем выше ток, тем ближе замыкание:

S = L (I / I/).

Эта задача какая-то слишком простая. Может, что-то другое хотели спросить. Но, скорее всего, решили сделать пару задач несложными.


Задача 6.

Наведенное напряжение на катушке противодействует изменению тока и пропорционально этому изменению. Поскольку кроме катушки в цепи ничего нет, это наведенное напряжение равно внешнему напряжению источника U,

L dI/dt = U, где L — индуктивность катушки, dI/dt — изменение тока во времени.

Отсюда Δ t = LΔI / U = 3 × 50 / 1.5 = 100 с.

На самом деле, конечно, активное сопротивление в цепи все-таки есть, и ток не будет линейно расти во времени до бесконечности. Будет переходный процесс в RL цепи (состоящей из источника, резистора и катушки), который после долгого времени приведет к установившемуся значению постоянного тока. Но если характерное время переходного процесса, определяемое соотношением индуктивности и активного сопротивления (которого в задаче как бы нет), существенно больше этих самых ста секунд, такое приближение может (при некотором напряге воображения) считаться оправданным.