Как повернуть быстрее? (30 ноября 2009)

Космический корабль, движущийся в свободном пространстве, свободном от поля тяготения, должен изменить направление движения на противоположное, сохранив скорость по величине. Для этого предлагаются два способа:

а) затормозить корабль, а потом разогнать до прежней скорости;
б) повернуть корабль, заставив двигаться по дуге окружности, сообщая ему ускорение в поперечном направлении.

В каком из этих двух способов содержит меньшую продолжительность манёвра? Величина силы тяги постоянна. Изменение массы корабля пренебрежимо мало.

Задача ЗФТШ.

Можно оценить без рассчета. Допустим корабль летит по оси x.

В первом случае скорость начинает меняться сразу максимально быстро, и это продолжается, пока она не поменяется на противоположную.

А во втором случае в начале поворота проекция скорости на ось x почти не меняется. Дальше, по мере изменения направления до угла 90°, растет. Только в момент, когда угол равен 90°, скорость изменения проекции скорости на ось x сравнивается с первым случаем, а затем снова начинает уменьшаться. То есть во втором случае среднее ускорение действующее по оси x меньше, следовательно, время разворота должно быть больше.

А в числах, по-моему, так:

v = vo − at   ("минус", так как ускорение навстречу начальной скорости)

v = −vo.

2vo = at.

t = 2vo / a.

Ускорение является центростремительным, заставляющим корабль двигаться по окружности с радиусом 'r'.

a = v2 / r.

r = vo2 / a.

t = L / v.

t = πr / vo = (πvo2 / a) / vo = πvo / a.

То есть, во втором случае больше чем в полтора раза дольше.

PS. Другое дело, если в пространстве есть планеты. Тогда, используя для поворота их дармовое ускорение, можно сильно сэкономить топливо.