Как повернуть быстрее? (30 ноября 2009)

Космический корабль, движущийся в свободном пространстве, свободном от поля тяготения, должен изменить направление движения на противоположное, сохранив скорость по величине. Для этого предлагаются два способа:

а) затормозить корабль, а потом разогнать до прежней скорости;
б) повернуть корабль, заставив двигаться по дуге окружности, сообщая ему ускорение в поперечном направлении.

В каком из этих двух способов содержит меньшую продолжительность манёвра? Величина силы тяги постоянна. Изменение массы корабля пренебрежимо мало.

Задача ЗФТШ.

Комментарии

Можно оценить без рассчета. Допустим корабль летит по оси x.

В первом случае скорость начинает меняться сразу максимально быстро, и это продолжается, пока она не поменяется на противоположную.

А во втором случае в начале поворота проекция скорости на ось x почти не меняется. Дальше, по мере изменения направления до угла 90°, растет. Только в момент, когда угол равен 90°, скорость изменения проекции скорости на ось x сравнивается с первым случаем, а затем снова начинает уменьшаться. То есть во втором случае среднее ускорение действующее по оси x меньше, следовательно, время разворота должно быть больше.

А в числах, по-моему, так:

v = vo − at   ("минус", так как ускорение навстречу начальной скорости)

v = −vo.

2vo = at.

t = 2vo / a.

Ускорение является центростремительным, заставляющим корабль двигаться по окружности с радиусом 'r'.

a = v2 / r.

r = vo2 / a.

t = L / v.

t = πr / vo = (πvo2 / a) / vo = πvo / a.

То есть, во втором случае больше чем в полтора раза дольше.

PS. Другое дело, если в пространстве есть планеты. Тогда, используя для поворота их дармовое ускорение, можно сильно сэкономить топливо.

Надоело разбираться?