Зависимость скорости от пройденного пути при торможении (9 февраля 2009)

Известно, что скорость автомобиля, тормозящего юзом (когда колеса не проворачиваются), уменьшается экспоненциально в зависимости от пройденного пути при торможении. Помогите вывести аналитическую зависимость скорости от пройденного пути при торможении для этого случая.
Согласно правилам, нужно указать источник задачи. Задачи без указания автора удаляются.
Считаем, что сила сопротивления пропорциональна скорости автомобиля, тогда:

ma = −kv,  или  m(dv/dt) = −kv.   (1)

dv = −(k/m)ds,

Интегрируя в пределе от vo до v, получим:

v = vo − ks/m.   (2)

Считая конечную скорость нулю (v = 0), имеем:

s = mvo/k.

Время движения автомобиля при торможении из (1):

dv/v = −(k/m)dt,

ln v = −(k/m)t + C,

при начальных условиях t = 0, v = vo, C = ln vo.

Тогда:

(ln v)/ln vo = −(k/m)t,
и

v = vo × e−kt/m.   (3)

Считаем, что сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости автомобиля, тогда:

m(dv/dt) = −kv2, или

dv/v = −(k/m)ds,

интегрируя, аналогично как и выше, получим:

v = vo × e−(k/m)s.   (4)

Вывод:

1. При торможении сила сопротивления пропорциональна скорости автомобиля и скорость от пройденного пути изменяется по закону:

v = vo − ks/m.

2. Скорость движения автомобиля изменяется по экспоненциальному закону от времени:

v = vo × e−kt/m.

3. При торможении сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости автомобиля и скорость от пройденного пути изменяется по закону:

v = vo × e−(k/m)s.

4. Связь скорости от времени для случая F = −kv2 за Вами.